3.1. Анализ нестабильности частоты генератора

В этом параграфе рассмотрены вопросы синтеза оптимального фильтра внутри петли ФАПЧ для задачи стабилизации частоты генератора с моделью фазы, определяемой условиями (2)-(4). Так как процесс является нестационарным, для отыскания фильтра, включаемого внутри петли ФАПЧ, нам следует использовать метод переменных состояния. Это точно такая же задача, как и решенная в примере 3 на стр. 626 первого тома. Там было указано, что правильное решение для фильтра в установившемся состоянии можно также получить, если использовать спектральную плотность

и положить 8-0 в окончательном выражении. Здесь мы воспользуемся этим методом. Формулу (2.73) можно применять теперь непосредственно. Передаточная функция фильтра в петле записывается в виде

Таким образом, в данном случае фильтр в петле сводится просто к функции усиления без каких-либо частотно-избирательных свойств. Получающаяся в итоге система называется системой ФАПЧ первого порядка и показана на рис. 3.1. Термин «первого порядка» используется здесь ввиду того, что систему можно характеризовать дифференциальным уравнением первого порядка. Результирующую реализуемую среднеквадратическую ошибку можно определить без затруднений. Простейший путь основывается на том, что передаточная функция, связывающая равна

и, следовательно,

Тогда согласно или имеем

Видно, что среднеквадратическая ошибка возрастает при увеличении и убывает при увеличении мощности и времени когерентности Для того чтобы проиллюстрировать применение этой формулы, рассмотрим простой пример.

Рис. 3.1. Система ФАПЧ первого порядка: а — реальная система; б - модель системы.

Пример. Предположим, что необходимо построить когерентную цифровую систему связи и при этом требуется источник опорной фазы со среднеквадратической ошибкой не более т. е.

На рис. 3.2 графически представлена зависимость требуемой мощности сигнала синхронизации от уровня шума приемника при постоянной времени когерентности генератора в качестве параметра. График позволяет найти мощность, которую необходимо иметь на входе системы синхронизации. Важно заметить, что отношение сигнал/шум на входе системы ФАПЧ может быть очень низким (его фактическое значение зависит от всех полосовых фильтров, стоящих до петли АПЧ). Если велико, то система ФАПЧ будет узкополосной и сможет отслеживать фазу генератора с высокой точностью.

Рис. 3.2. Минимальные уровни мощности для допустимой ошибки синхронизации.

Все наши рассуждения в данном параграфе исходят из предположения, что справедлива линеаризованная модель системы ФАПЧ. Это допущение соблюдается при условии, если среднеквадратическая ошибка в системе мала. Существует несколько ситуаций, когда это предположение не выполняется. Укажем два примера.

1. В начальный период приема несущей существует переходной режим; фазовая ошибка до того, как система ФАПЧ начнет отслеживать точно, может быть большой.

2. Возможны потери мощности несущей или возрастание мощности шумов, которые приводят к увеличению ошибки подстройки. В обоих этих случаях необходимо исследовать нелинейное поведение системы, чтобы понять ее работу. В следующем параграфе начинается исследование нелинейного режима.