6.3. Двоичные системы без кодирования

Первая представляющая интерес система называется двоичной (бинарной) системой без кодирования. Каждый из выходных уровней квантователя представляется посредством двоичных символов (цифр, элементов). Двоичный алфавит, используемый для отображения выходных уровней квантователя, иллюстрируется табл. 6.2 для случая Двоичные цифры передаются каким-либо двоичным методом модуляции. Выбор подходящего метода модуляции зависит от того, какой канал имеется в распоряжении. В табл. 6.3 перечислены несколько каналов, которые изучались в гл. 4 первого тома, соответствующие двоичные системы сигналов для этих каналов и приведены выражения для вероятностей ошибок по двоичным элементам. Сначала мы вычислим только для канала с аддитивным гауссовым шумом. Позднее §? будет вычислена и для некоторых каналов с замираниями,

Таблица 6.2 (см. скан)

Вычислим теперь Из табл. 6.2 видно, что хотя различные значения появляются с неодинаковой вероятностью, вероятность того, что в качестве любой цифры будет передана «единица», равна Заметим, что вероятность «единицы» во второй, третьей и четвертой разрядной цифре не является независимой от вероятности «единицы» в первом разряде. Следовательно, оптимальный байесовский приемник должен был бы принимать решение по разрядам одновременно. На практике приемник обычно декодирует каждый элемент независимо. Эта процедура является субоптимальной, но она значительно проще и поэтому мы используем ее в интересах решения рассматриваемой задачи. Оптимальный приемник рассматривается кратко в задаче 6.3.1.

Таблица 6.3. (см. скан) Каналы, сигналы, вероятности ошибок

Полагая, что приемник принимает решение о приеме сигнала, соответствующего каждому элементу, т. е. осуществляет раздельный (поэлементный) прием, можно использовать выражения для вероятностей ошибок по элементам, приведенным в табл. 6.3. Обозначим эту вероятность через

Проиллюстрируем вычисление ошибки решения для случая Пример Из табл. 6.1 имеем

Определим и путем непосредственного вычисления. Для вычисления предположим, что переданный сигнал соответствует 11. Приемник может принять решение, соответствующее 00, 10,01 или 11.

Таблица 6.4 (см. скан)

Каждое решение сопряжено с конкретной среднеквадратической ошибкой. Все возможные варианты систематизированы в табл. 6.4. Таким образом,

Аналогично для получим результаты, сведенные в табл. 6.5:

Объединив (26) и (27), получим

Таблица 6.5 (см. скан)

Для произвольного количества уровней значения можно вычислить, используя такой же подход. Эти вычисления были произведены численными методами. Во всех случах использовался квантователь с минимальной среднеквадратической ошибкой. Предполагалось, что для передачи элементов используются равные и противоположные сигналы и осуществляется независимое поэлементное их детектирование при приеме.

Таким образом,

Рис. 6.6. Среднеквадратическая ошибка при использовании двоичной системы без кодирования, зависимость от

Результаты вычисления показаны на рис. 6.6. По горизонтальной оси отложено отношение сигнал/шум в полосе сообщения

где энергия каждого элемента сигнала, а — полная энергия. По вертикальной оси отложена величина, обратная среднему квадрату ошибки где индекс означает двоичную систему без кодирования.

Видим, что, как и в системах с угловой модуляцией, в рассматриваемой системе существует явление порога. Вправо от этого порога (т. е. при больших значениях ) практически нет ошибок решения, а среднеквадратическая ошибка обусловлена лишь процессом квантования.

Рис. 6.7. Двухпозиционная фазовая модуляция.

Эту ошибку можно уменьшить путем увеличения (напомним, что Однако увеличение оказывает на рассматриваемую систему другой эффект. Для демонстрации этого эффекта рассмотрим типичную двоичную последовательность, модулированную по фазе, которая показана на рис. 6.7. Сигнал, соответствующий каждому двоичному элементу сообщения, имеет длительность

Нетрудно вычислить спектр передаваемого сигнала (см. задачу 6.3.4):

где С — постоянный коэффициент, не имеющий значения в данном обсуждении. Из формулы (32) видно, что ширина спектра связана с линейной зависимостью. Поэтому при больших значениях определяющим условием работы системы будет ограничение по полосе частот.

Рис. 6.8. Сравнение систем в случае сообщения с ограниченным по ширине спектром.

Процедура расчета (с учетом ограничений данной конкретной системы) теперь ясна. Необходимо провести огибающую кривых, представленных на рис. 6.6. При следует использовать четырехуровневое квантование. При кривая, соответствующая пересекает кривую, соответствующую В этой точке можно было бы перейти на восьмиуровневое квантование. По мере увеличения доступного можно переходить на все большее и большее число уровней квантования. Наконец, достигается точка, когда будет занята вся доступная полоса частот. В этой точке фиксируем значение и если увеличивать далее, то рабочая точка системы будет смещаться вправо по линии постоянного значения Заметим, что описанная процедура полностью аналогична процедуре для случая ЧМ, рассмотренной в гл. 4 (см. рис. 4.10). Здесь параметр играет такую же роль, как нормированная девиация частоты — играет в случае ЧМ.

На рис. 6.8 совмещены кривые помехоустойчивости по заданной мере искажений (см. рис. 5.20), оптимальной ЧМ (см. рис. 5.26) и двоичной системы без кодирования (см. рис. 6.6) для случая, когда нет ограничения по полосе частот. Из сравнения кривых видно, что помехоустойчивость двоичной системы без кодирования несколько хуже, чем системы ЧМ, и обе системы почти на отстоят от границы, определенной по заданной мере искажений.

При ограничении по полосе частот двоичная система без кодирования становится хуже системы ЧМ, как только превысит порог. При этом вероятность ошибки решения практически равна нулю. Однако ошибку квантования уменьшить невозможно из-за ограничения полосы частот. Это означает, что имеется энергия, которая не используется. Существует несколько путей использования этой энергии. Очевидными из них являются следующие:

1. Можно увеличить объем алфавита без расширения спектра. Например, на каждом интервале длительностью секунд можно было бы передавать один из четырех, а не один из двух сигналов. Общепринятой системой сигналов является следующая:

где целое число. Эта система сигналов соответствует системе дискретной фазовой модуляции с четырьмя возможными значениями фазы. Благодаря этому можно удвоить число уровней квантования без расширения спектра передачи. Недостаток этого способа в том, что порог в этом случае проявляется при более высоком значении (см. задачу 6.3.5). Другие простые системы этого типа рассмотрены в задачах данной главы.

2. Можно использовать гибридную систему, в которой ошибка квантования передается на приемную сторону методом АИМ или AM. Такая система синтезируется и анализируется в задаче 6.3.2.

Рассмотрим теперь метод передачи при использовании ортогональных сигналов.