5.4.1. Граница помехоустойчивости при скорости передачи информации, определяемой заданной величиной искажения сообщения

Обратимся теперь к абстрактной модели системы, представленной на рис. 5.12. Выходом источника является сообщение которое описывается выборочной функцией стационарного случайного процесса со спектром Обозначим оценку сообщения через . В дальнейшем предполагается, что математическое ожидание усредненного по времени квадрата ошибки не превышает величины

Между существует связь, характеризуемая некоторым количеством взаимной информации. Для определения зтой взаимной информации разложим и в полные ортонормальные ряды на интервале используя метод, изложенный в гл. 3 первого тома. Таким образом,

где

Обозначим первые коэффициентов вектором а. Аналогично

где

Обозначим первые коэффициентов в (72) через вектор Координатные функции в этих двух разложениях необязательно должны быть одинаковыми. Средняя взаимная информация между считается равной (см. [3])

Средняя взаимная информация между сигналом и его оценкой на интервале равна пределу если он существует;

Желательно определить минимальное количество средней взаимной информации, необходимой для того, чтобы удовлетворялось (69). Если найти этот минимум на всем возможном интервале (включая то получим некоторую функцию, называемую скоростью передачи информации (производства информации источником) при заданной величине среднего квадрата ошибки воспроизведения сообщения. Ее обозначают через и определяют как

Операция определения точной нижней границы (infinimum) осуществляется по всем возможным каналам. Понятие функции введено Шенноном [4] (см. также работу Слепяна [6]). Заметим, что эта функция является характеристикой источника.

Чтобы проиллюстрировать смысл функции вычислим ее для некоторых представляющих интерес источников. Можно показать что для стационарного гауссова источника эта функция равна

где

при этом область определяется из соотношения

где через обозначена протяженность области Заметим, что определяется только для положительных со; это требование вводится с тем, чтобы наше изложение не противоречило упомянутым выше работам. Параметр — это множитель Лагранжа, который появился в ходе нашего вывода. Для отыскания соотношение (79) решается с учетом (78). Замечаем, что (77) и (79) имеют точно такую же форму, как (19) и (24), вследствие чего здесь непосредственно применимы выводы, относящиеся к рис. 5.5.

Рис. 5.15. Зависимости ошибок от для нормального случайного процесса в случае спектров Баттерворта и гауссова спектра [10].

Так, в частности, если спектр унимодален, то область представляет собой единый (без разрывов) интервал При этом из (78) имеем

С учетом (80) находим

При любом требуемом среднем квадрате ошибки необходимо решать (81) относительно со. Соответствующая этой ошибке скорость передачи информации имеет вид

Зависимость величины, обратной среднему квадрату ошибки, от для спектра Баттерворта вида

представлена графически на рис. 5.15, а для гауссова спектра — выражением (6.164) в первом томе.

Теперь мы располагаем выражением для количества средней взаимной информации между которая требуется для получения среднего квадрата ошибки . Следующий шаг нашего изложения — установить, что для передачи этой информации от передатчика к приемнику необходимо иметь канал, пропускная способность которого

Поскольку монотонно убывающая функция §, в (84) всегда используется знак равенства. Таким образом, к каналу предъявляется требование

Далее мы рассматриваем только каналы с аддитивным белым гауссовым шумом. Следует подчеркнуть, что все изложенное до сих пор было справедливо для любого канала.

Рис. 5.16. Модель канала с аддитивным белым гауссовым шумом.

Модель канала с аддитивным белым гауссовым шумом показана на рис. 5.16. Мощность передаваемого сигнала равна

где его спектральная плотность. Аддитивный белый гауссов шум имеет двухстороннюю спектральную плотность Пропускная способность канала в этом случае равна [3]

Рассмотрим три частных случая такого канала:

1. Канал со строго ограниченной полосой пропускания;

2. Канал с бесконечно широкой полосой пропускания;

3. Канал с ограниченной среднеквадратической полосой пропускания.

Рис. 5.17. Модель строго ограниченного по полосе канала с аддитивным белым гауссовым шумом двухсторонняя ширина канала, Гц): а — канал нижних частот; б - фильтр в идеальном полосовом канале.

Модель строго ограниченного по полосе канала показана на рис. 5.17. Здесь передаваемый сигнал пропускается через полосовой фильтр с модулем коэффициента передачи, равным единице, и с полосой пропускания Гц. В этом случае пропускная способность канала будет максимальной, если плотность спектра

сделать постоянной в полосе пропускания фидатра и равной нулю вне ее. Достигаемая при этом пропускная способность равна

Если в (88) устремить к бесконечности, то получим канал с бесконечно широкой полосой пропускания, имеющий пропускную способность

Канал с ограниченной среднеквадратической полосой пропускания — это канал, в котором средний квадрат ширины спектра передаваемого сигнала ограничен сверху:

Ограничение этого типа нам известно из рассмотрения оптимальной угловой модуляции в § 5.2. Необходимо вывести формулу пропускной способности канала при этом условии. Чтобы не прерывать основной линии нашего изложения, отложим пока этот вывод до стр. 147 и рассмотрим только первые два канала.

Для иллюстрации используемых методов обратимся к нескольким представляющим интерес случаям. Во всех случаях спектры сообщения являются монотонными, так что можно использовать (81) и (82). Приравняем выражение (82) для к выражению (88) для С:

В результате решения уравнения (91) получим со как функцию Подставив это значение в (81), определим наименьший средний квадрат ошибки, возможной при использовании любой системы связи.

Пример 1. Спектр сообщения имеет вид

Подстановка (92) в (91) дает:

Поскольку измеряется в радианах в секунду, ширину полосы канала также выразим в радианах в секунду:

Проинтегрировав левую часть (93) по частям и учтя (94) в правой части, получим

где

есть отношение сигнал/шум в полосе частот сообщения. Теперь можно найти со, как функцию Средний квадрат ошибки, получаемый путем подстановки (92) в (81), равен

Здесь добавлен подстрочный индекс для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о среднеквадратической ошибке при использовании границы при заданной мере искажений. Проинтегрировав (97), получим

Рис. 5.18. Зависимости от в случае спектра Баттерворта первого порядка.

Если в (98) подставить значение из (96), то будет представлена, как функция

На рис. 5.18 величина представлена графически как функция при различных значениях коэффициента расширения спектра Первоначально эта задача была решена в [10].

Пример 2. Спектры Баттерворта, канал с бесконечно широкой полосой. Спектр сообщения принадлежит к классу Баттерворта, а ширина полосы пропускания канала Таким образом,

Поскольку графики функции для этого класса спектров уже построены (см. рис. 5.15), величину можно найти непосредственно по этим кривым, положив

Эта задача была выполнена в [10], а результат показан на рис. 5.19. По оси абсцисс здесь отложено отношение сигнал/шум в полосе сообщения Это отношение сигнал/шум равно

По оси ординат отложена величина, обратная среднему квадрату ошибки (Графики рис. 5.19 и 5.15 отличаются между собой только тем, что по горизонтальной оси отложены разные величины.) Как и следовало ожидать, согласно результатам теории фильтрации, с которыми мы познакомились ранее (например, рис. I-6.17), помехоустойчивость улучшается по мере увеличения порядка спектра.

Пример 3. Ограниченный по полосе спектр сообщения, канал с ограниченнной полосой пропускания. Третий представляющий интерес случай соответствует ограниченному по полосе спектру сообщения. Спектральная плотность сообщения записывается в виде

Здесь можно пользоваться формулами (77) и (79) с учетом того, что

В результате получим уравнения

Приравнивая к С, получаем

Согласно (79)

или, если ввести обозначение

Этот результат представлен графически на рис. 5.20 для различных значений коэффициента расширения спектра.

Теперь мы располагаем граничным выражением для среднеквадратической нереализуемой ошибки демодуляции (выражением для потенциальной помехоустойчивости) при использовании любого метода передачи, вычисленным для трех конкретных представляющих интерес случаев.

Рис. 5.19. Зависимости от для канала с бесконечной полосой и белым гауссовым шумом в случае спектров Баттерворта.

Рис. 5.20. Зависимости от при различных значениях

Вернемся немного назад и выведем выражение для пропускной способности канала с ограниченной эффективной полосой пропускания.

Пропускная способность канала с ограниченной среднеквадратической полосой. Вывод формулы пропускной способности канала с ограниченной среднеквадратической шириной полосы пропускания представляет собой прямую задачу минимизации. Предполагается, что передаваемый сигнал имеет спектр который удовлетворяет условию (86). Пропускная способность такого канала равна

Необходимо выбрать спектр так, чтобы пропускная способность С была максимальной. Ограничения, налагаемые на формулируются следующим образом:

— ограничение по ширине полосы:

— ограничение по мощности:

— требование положительности спектра:

Примечания относительно использования знака равенства и знака спектра, сделанные на стр. 127—128, в этом случае также применимы. Таким образом, можно минимизировать функцию

где и множители Лагранжа. Минимизируя (115) относительно и используя (114), получаем

Как следует из (116), оптимальный спектр передаваемого сигнала ограничен частотой

Эту частоту можно ввести в (116). В результате получим

где введены следующие новые параметры:

что является отношением сигнал/шум в эффективной полосе сообщения, и

Для определения используем условия (112) и (113). В результате получим систему двух уравнений

Формулу пропускной способности получим путем использования (118) в (111)

Выражение для пропускной способности канала можно также записать в виде

где сложная неявная функция, определяемая уравнениями (121) и (122). Когда отношение сигнал/шум велико можно получить приближенное аналитическое решение. Из (123) имеем

а из (121) -

Рис. 5.21. Удельная пропускная способность канала (пропускная способность на герц эффективной полосы) [11].

Следовательно,

Из изложенного видно, что пропускная способность канала при ограничении эффективной полосы растет пропорционально корню кубическому из Из (88) следует, что, когда имеется канал со строго ограниченной полосой пропускания, пропускная способность увеличивается пропорционально логарифму На рис. 5.21 представлен график удельной пропускной способности канала (пропускная способность, отнесенная к эффективной ширине полосы), построенный согласно (124). На этом же рисунке построена асимптота, определяемая (127) и соответствующей формулой для строго ограниченного по полосе канала (88).

В большей части книги нам приходится иметь дело с полосовыми каналами наподобие показанного на рис. 5.22. Если определить как эффективную ширину соответствующего спектра нижних частот,

то пропускная способность полосового канала будет равна

где

Чтобы определить наименьшую возможную среднеквадратическую ошибку при передаче по каналу с ограниченной эффективной шириной полосы, приравняем к пропускной способности, определяемой формулами (124) или (128).

Рис. 5.22. Спектры передаваемых сигналов: а — спектр передаваемого сигнала, сдвинутый к началу координат; б - фактический спектр передаваемого сигнала

Для конкретного случая спектров сообщения класса Баттерворта результаты можно получить при помощи рис. 5.15 и 5.21. Не будем останавливаться на подробностях вывода для этого общего случая. На стр. 153 случай однополюсного спектра Баттерворта рассмотрен более подробно.

В этом параграфе было выведено выражение для границы наименьшей среднеквадратической ошибки при оценке аналогового сообщения Эта граница справедлива для любой системы связи. Следующий шаг изложения — сравнить помехоустойчивость рассмотренных оптимальных методов угловой модуляции с установленной границей. Рассмотрим два случая.

1. Канал имеет бесконечно широкую полосу. В этом случае в системе угловой модуляции определяющим является ограничение по порогу, поэтому системы, рассмотренные в § 5.1, являются оптимальными.

2. Канал имеет ограниченную эффективную полосу, а система угловой модуляции работает выше порога. В этом случае определяющим условием является ограничение ширины полосы, поэтому оптимальными являются системы, рассмотренные в § 5.2.