П.6. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма

Мы уже встречались с несколькими прикладными областями, в которых определение решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольмаявляется важным аспектом задачи. Частный случай такой ситуации — задача обнаружения известных сигналов на фоне небелого гауссова шума, которая была рассмотрена в §4.3 первого тома. Рассмотрим процедуру решения приведенных там уравнений методами переменных состояния.

Наш новый подход по существу связан с двумя моментами. Во-первых, необходимо найти систему дифференциальных уравнений, определяющих искомое решение; во-вторых, целесообразно рассмотреть различные методы решения этих дифференциальных уравнений.

Запишем неоднородное интегральное уравнение в виде

где известный сигнал; ковариационная функция случайного процесса как описано в § П.1; - положительно определенная симметричная матрица, которая обычно связана с ковариационной функцией аддитивного белого шума, искомое решение. Поскольку предполагается, что матрица положительно определена, интегральные уравнения первого рода с сингулярными функциями, встречающимися в концевых точках интервала, из рассмотрения исключаются. Функция входящая в уравнение (149), определяет коррелятор, с которым мы встречались ранее в § 4.3 и 4.5 первого тома. Уравнение (149) является обобщением уравнения и было выведено в задаче

Используем теперь результаты § П.4 для того, чтобы свести интегральное уравнение вида (149) к равносильной системе дифференциальных уравнений. Учитывая свойство положительной определенности матрицы (149) с учетом (6) можно переписать в виде

Если в уравнении отождествить с функцией из уравнения (102), то нетрудно заметить, что интеграл является функцией от в соответствии с определением (101). Поэтому для неоднородного уравнения определим как

так что (150) обращается в

Для рссматриваемого класса ядер в § П.4 было показано, что функционал, определяемый (151), можно представить как решение дифференциальных уравнений (116) и (117):

в сочетании с системой граничных условий. Если вместо подставить (152), то (154) обратится в

Если (153) и (155) записать в векторной форме, то неоднородное интегральное уравнение можно свести к дифференциальным уравнениям

граничные условия для которых следуют из (118) и (119) в виде

Решение исходного интегрального уравнения связано с решением дифференциального уравнения посредством (152). В результате мы свели задачу отыскания решения неоднородного интегрального уравнения к задаче решения пары векторных дифференциальных уравнений со смешанными или расщепленными граничными условиями.

Наша задача облегчается тем, что дифференциальные уравнения, выведенные в предыдущем параграфе, появлялись и в других контекстах, в частности, в реализации оптимального сглаживания в переменных состояниях. Поэтому можно использовать методы, которые были

разработаны для реализации сглаживателя, с целью решения уравнений (156)-(158). В этом параграфе кратко рассмотрим три из этих методов.

Прежде чем приступить к их изложению, необходимо определить некоторые матрицы. Введем в рассмотрение матрицу определяемую как

и связанную с нею переходную матрицу Как и в случае однородного уравнения, разобьем эту переходную матрицу на четыре субматрицы

Кроме того, вновь определим матрицы и как

Теперь обсудим три процедуры решения (156) — (158).

Первый метод решения представляет собою просто суперпозицию однородного и частных решений 19]. Пусть будут частными решениями дифференциального уравнения (156), которые удовлетворяют начальным условиям

Не следует путать ковариационной матрицей ошибок, введенной в гл. 6 первого тома. Дополним эти частные решения решением вида

Применив начальное граничное условие, получим конечного граничного условия получим Таким образом,

где

Существование приведенной выше обратной матрицы можно гарантировать, исходя из результатов работы [14].

Второй метод решения связан со структурой реализуемого фильтра, синтезированной в гл. 6 первого тома. В основе этого метода лежит теория реализуемого фильтра, позволяющая найти [9]. Это обеспечивает полную систему граничных условий при следовательно, уравнение (156) можно интегрировать в обратном

направлении, начиная с чтобы определить искомое решение Введем в рассмотрение

где при

Можно показать, что удовлетворяют уравнению оценки (I — 6.320), получаемой при помощи реализуемого фильтра, и дисперсионному уравнению (I — 6.330) соответственно:

Соответствующие начальные условия имеют вид

Следовательно, для отыскания необходимо интегрировать (171) и (172) в прямом направлении — от Использовав в (170) граничное условие, найдем искомое решение проинтегрировав (156) в обратном направлении — от к

Третий метод решения связан с задачей сглаживания, сформулированной Раухом, Тангом и Стрибелем в [10]. Легко убедиться, используя (165) — (169), что

Решив это уравнение относительно и подставив результат в (155), можно разделить уравнение для и получить

Граничное условие определяется формулой (170). Помимо обеспечения этого граничного условия функция входит также в (176) как вынуждающая.

Эквивалентно можно решить (175) относительно и подставить результат в (154), получив в итоге

при граничном условии в точке определяемом (158). Решение интегрального уравнения можно связать непосредственно с а не с если использовать (152):

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров практического использования этих методов для решения неоднородных уравнений, обсудим кратко их сравнительные достоинства. В ситуациях, когда параметры систем постоянны, как в случае ядер с рациональными спектрами, аналитически весьма удобен первый метод, так как он приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Если требуются численные решения, что, как правило, бывает, когда размерность вектора состояния равна или более двух, применение первого и второго методов может быть сопряжено с трудностями, особенно если интервал велик. Эти трудности возникают ввиду того, что соответствующие уравнения неустойчивы при интегрировании в прямом или обратном направлении во времени; например, когда параметры системы постоянны, матрица коэффициентов имеет собственные значения в правой и левой полуплоскостях. Третий метод в этой ситуации оказывается более удобным. Интегрирование в прямом направлении с целью отыскания уподобляется использованию реализуемого фильтра, вопросы устойчивости которого достаточно хорошо исследованы. Если рассмотреть матрицу коэффициентов уравнения (177), то нетрудно заметить, что она является отрицательной транспозицией матрицы коэффициентов реализуемого фильтра; следовательно, она приводит к устойчивым решениям при интегрировании в обратном направлении. Аналогичные результаты справедливы также для условия (174).

Пример 9. Рассмотрим решение неоднородного интегрального уравнения, когда ядро является ковариационной функцией скалярного процесса первого порядка, описанного в примере 2. Допустим, что спектральная плотность аддитивного шума равна т. е.

сигнал имеет форму

а интервал наблюдения соответствует Этот пример аналогичен примеру, приведенному на стр. 364 первого тома.

Подставим матрицы состояния (27) и функции (179) и (180) в уравнения (156) - (158). В результате получим дифференциальное уравнение

с граничными условиями

Решение следует из (152) и матриц состояния в виде

Чтобы решить эту систему уравнений, выберем первый метод решения, поскольку аналитически он наиболее удобен. Непосредственное интегрирование уравнения (181) при начальных условиях дает

где

Для определения однородного решения необходимо найти переходную матрицу . Сделаем это методом преобразования Лапласа:

Далее найдем и в виде, определяемом (161) и (162). Сложив эти однородные решения с приведенными выше выражениями для найдем

где

После всех необходимых подстановок окончательно получим

Из этого простого примера должно быть очевидно, что аналитическое решение для и соответствующая его реализация действительно представляют собой очень трудную задачу, когда ядро является ковариационной функцией процесса, генерируемого системой высшего порядка. В большинстве случаев эту задачу решают численно, используя третий метод решения. Ряд примеров дан в [6].

Данный метод переменных состояния применительно к решению неоднородных интегральных уравнений обладает многими из тех преимуществ, которые имеют место в случае однородных уравнений, и поэтому не будем их здесь повторять. Отметим, что мы ограничились рассмотрением только уравнений второго рода, в которых вопроса о сингулярных функциях на концах интервала не возникает.

Этим завершается рассмотрение методов решения интегральных уравнений при помощи переменных состояния. Эти методы являются чрезвычайно мощными, особенно если их рассматривать с позиции численного решения. Однако, как уже было отмечено, при анализе приведенных примеров ими следует пользоваться осторожно, учитывая свойства рассматриваемых процессов и асимптотику их собственных значений.