П.4. Вывод дифференциальных уравнений для ковариационного оператора

Многие из задач, встречающихся в тексте книги, связаны с интегральной операцией

Например, при использовании интегральных уравнений Фредгольма либо связана с собственной функцией в однородном случае, либо является решением в неоднородном случае. В рамках теорий линейных оценок, лежащей в основе многих вопросов, рассмотренных в данной книге, выражение (100) есть интегральная операция, определяемая уравнением Винера-Хопфа.

В этом параграфе выведена система дифференциальных уравнений для указанной интегральной операции. Решение этих дифференциальных уравнений эквивалентно выполнению интегральной операции определяемой соотношением (100). Во многих интересующих нас прикладных вопросах проще работать с дифференциальными уравнениями чем с интегральным уравнением.

Предположим, что представление в переменных состояния найдена или задано непосредственно. С учетом (6) выражение (100) можно записать в виде

где

Определим теперь систему дифференциальных уравнений черев функцию Подставив (9) в (102), получим

Продифференцируем

Здесь было использовано начальное условие, сформулированное ниже (формулы (6.254а) на стр. 605 первого тома), и взаимно уничтожена два равных слагаемых. В первое слагаемое правой части (104)

подставим (I — 6.254 а), а в последнем слагаемом учтем то, что является переходной матрицей для сопряженного уравнения матрицы т. е.

Сделав эти две постановки в (105), получим

Используя в (106) выражение (104), получаем

После перегруппировки членов с учетом (103) окончательно имеем

Таким образом, дифференциальное уравнение для выведено, однако нетрудно видеть, что операция интегрирования в (108) все еще остается. Мы просто определим эту интегральную операцию как второй линейный функционал функции

Тогда

Теперь несложно вывести дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функционал В результате дифференцирования получим

где вновь использовано сопряжение соотношение, определяемое (105), После подстановки (109) в (111) имеем

Теперь необходимо вывести две системы граничных условий, которым должны удовлетворять уравнения (110) и (112). Во всех прикладных вопросах, которые нами рассматриваются, функция ограничена в концевых точках интервала Поэтому, положив в получим

Второе граничное условие вытекает непосредственно из (103). Если положить то первое слагаемое равно нулю, а второе можно записать в виде

или

Нетрудно заметить, что два граничных условия, определяемые (113) и (115), являются независимыми.

Подытожим результаты полученного вывода. Получено два дифференциальных уравнения:

Кроме того, мы располагаем граничными условиями

Связь с исходной интегральной операцией определяется соотношением

Отметим, что единственным свойством функции которое понадобилось при выводе, является ограниченность в концевых точках интервала. Этим самым из рассмотрения исключаются уравнения первого рода, в которых на концах интервала могут появляться сингулярные составляющие. Уравнения (118) и (119) равносильны линейно независимым граничным условиям. Если дифференциальные уравнения линейны может быть функцией то любое решение, которое удовлетворяет граничным условиям, является единственным.

Наконец, вывод этих дифференциальных уравнений можно провести в обратном порядке с тем, чтобы получить функционал, определяемый формулой (102), т. е. можно проинтегрировать дифференциальные уравнения, а не дифференцировать интегральное уравнение. Следовательно, решение дифференциальных уравнений должно совпадать с результатом интегральной операции (102). Отсюда следует, что существование решения , удовлетворяющего указанным граничным условиям, необходимо и достаточно для существования решения интегрального уравнения (102).