П.2. Определение ковариационной функции случайного процесса по его описанию в переменных состояния

В этом параграфе мы изложим процедуру отыскания в предположении, что представление в переменных состояния, описываемое уравнениями считается заданным. Процедура состоит из трех этапов.

1. Как видно из уравнения (2), легко связать с ковариационной матрицей вектора состояния

Так как ковариационная функция вектора состояния определяет ковариационную матрицу выходного процесса, сосредоточим наше внимание на

2. Напомним, что в соответствии со свойством 14 (на стр. 607 первого тома) матрица удовлетворяет дифференциальному уравнению

при начальном условии

3. Докажем, что

где переходная матрица, определяемая выражением (I — 6.254). После доказательства (9) получим законченную процедуру для отыскания матрицы из (2). Докажем теперь (9).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда Состояние системы в момент времени связано с состоянием в момент времени входным возмущением на интервале соотношением

Если (10) почленно умножить на и взять математические ожидания, то получим

На основании свойства 13 (см. стр. 606 первого тома) не коррелированы на интервале интегрирования. Вследствие этого второе слагаемое в (11) равно нулю и

что является первой частью доказываемого равенства. Вывод для случая, когда аналогичен.

Свойство (9) справедливо для всех процессов, представляемых переменными состояния в форме (1) — (5). Особенно важным является случай, когда интересующие нас случайные процессы стационарны. Остановимся кратко на этом случае.

Все стационарные процессы с рациональными энергетическими спектрами можно смоделировать при помощи систем с постоянными параметрами, если соответствующим образом выбрать ковариационную матрицу начального состояния. (Отметим, что выход системы с постоянными параметрами необязательно должен быть стационарным процессом: например, когда на входе действует вииеровский процесс или выбрана не надлежащим образом.)

Если параметры системы, генерирующей процессу постоянны, то переходная матрица определяется матричным экспоненциальным множителем

Согласно (9) для того, чтобы матрица была функцией только матрица должна равняться постоянной величине Эта постоянная матрица является стационарным решением дифференциального уравнения (7). Следовательно, можно моделировать отрезки стационарного процесса, используя системы с постоянными параметрами и устанавливая ковариационную матрицу начального состояния равной

Используя методы преобразования, легко показать, что стационарное решение уравнения (7) имеет вид

Ковариационная функция вектора состояния равна

Взяв преобразование Фурье, получим спектральную ковариационную матрицу

Для иллюстрации изложенных выше идей рассмотрим три примера. Эти процессы будут далее использоваться в качестве примеров на всем протяжении приложения.

Пример 1. Винеровский цроцесс. Представление в переменных состояния для винеровского процесса впервые было введено в примере 3 на стр. 626 первого тома. Представление в переменных состояния для моделирования этого процесса имеет вид

Путем непосредственного сличения (1)-(4) и (17)-(20) получим следующие матрицы состояния:

Для этого процесса определение множителей в (9) не вызывает затруднений. Имеем

или

Следовательно,

что хорошо известно.

Пример 2. Для второго из рассматриваемых процессов имеем следующее описание в переменных состояния:

Соответствующие матрицы состояния имеют вид

Решением уравнения (7) для является

а требуемая переходная матрица

Ковариационная функция определяется выражением (9) в виде

Если то рассматриваемый процесс стационарен для любого момента времени В противном случае процесс будет стремиться к стационарному состоянию при Поэтому

значит рассматриваемый процесс — это известный нам стационарный процесс с однополюсным спектром или спектром Баттерворта первого порядка.

Пример 3. Большая часть результатов, относящихся к одномерным системам, может быть получена аналитическим путем. Однако существуют определенные ситуации, для которых нельзя получить конечные результаты, не рассмотрев многомерных систем. Поэтому рассмотрим третий процесс, к которому мы обратимся в дальнейшем и который описывается следующим рядом матриц:

Подстановка указанных значений в дифференциальное уравнение для дает

Отсюда следует

для любого

Непосредственным преобразованием Лапласа можно показать, что переходная матрица имеет форму

Отсюда следует, что ковариационная функция вектора состояния определяется матрицей

Ковариационная функция наблюдаемого процесса определяется верхним левым элементом матрицы (35).

Главное различие между этим методом задания систем и случайных процессов и более распространенной формой задания их импульсной переходной функцией и ковариационной функцией заключается в том, что в первом случае определяется внутренняя динамика генерирующей (моделирующей) системы, а не только описывается выходной процесс. Выше было показано, как эту внутреннюю форму задания можно использовать для определения характеристик выходного процесса. Хотя во многих задачах такое представление в переменных состояния явно присутствует в формулировке задачи, можно встретиться и с противоположной ситуацией, когда задается ковариационная функция процесса, а для его генерации требуется представление в переменных состояния. Эта проблема будет рассмотрена в следующем параграфе.