5.3. Субоптимальные предыскажающие фильтры

В предыдущем параграфе было показано, что оптимальная предыскажающая схема заметно улучшает помехоустойчивость системы, когда определяющим условием является ограничение по полосе частот. К сожалению, оптимальную предыскажающую схему невозможно реализовать точно. В этом параграфе будут рассмотрены простые предыскажающие схемы и произведено сравнение их по помехоустойчивости с оптимальной системой.

5.3.1. Синтез субоптимальных систем

Из (43) видно, что оптимальную предыскажающую схему можно представить в виде двух последовательно включенных фильтров (рис. 5.8). Передаточная функция первого фильтра есть просто величина, обратная спектру Напомним, что содержит полюсы и нули спектра в левой полуплоскости, так что обратная ему характеристика — передаточная функция первого фильтра — является реализуемой. Выходной сигнал первого фильтра имеет равномерный спектр. Передаточная функция второго фильтра соответствует корню квадратному из выражения, заключенного в (43) в фигурных скобках:

Заметим, что выражение в фигурных скобках в (43) нельзя разложить на реализуемую часть и комплексно-сопряженный с нею множитель, так как оно не удовлетворяет критерию Палея — Винера (оно равно нулю на конечном интервале оси со). Необходимо заменить второй фильтр реализуемым фильтром и исследовать достигаемую при этом помехоустойчивость. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим простой пример.

Рис. 5.8. Оптимальная предыскажающая схема.

Рис. 5.9. Асимптоты модуля передаточной функции.

Пример. И на этот раз предполагается, что сообщение имеет спектр Баттерворта первого порядка:

Из (54) следует, что передаточная функция оптимального фильтра при со со равна нулю, где со зависит от и Но из этого вытекает, что простым первым приближением к нереализуемому фильтру могла бы быть однополюсная схема. Местоположение полюса будет зависеть от Следовательно, субоптимальную систему в данном случае можно получить путем замещения фильтра с передаточной функцией на рис. 5.8 реализуемым фильтром с передаточной функцией

где параметр, значение которого выбирается для оптимизации помехоустойчивости системы.

Из (61) видно, что

Поэтому результирующая передаточная функция реализуемого предыскажающего фильтра будет равна

Асимптоты модуля передаточной функции показаны на рис. 5.9. Нереализуемая ошибка демодуляции сообщения, которую можно

определить путем подстановки (61) и (64) в (34), равна

Сгруппировав члены и заменив переменные, получим

Из (66) явствует, что нереализуемая среднеквадратическая ошибка зависит от трех величин:

1) коэффициента расширения спектра

2) отношения сигнал/шум в полосе частот сообщения

3) отношения координаты полюса к координате нуля на частотной оси.

На рис. 5.10 показано поведение величины, обратной среднему квадрату нереализуемой ошибки, как функции отношения при и различных значениях Из графиков видно, что для каждого значения существует оптимальное значение и оно возрастает с увеличением

Рис. 5.10. Зависимости от при

Рис. 5.11. Зависимости от

Как и следовало ожидать, кривые имеют плавный характер, так что в точной подстройке нет надобности. Аналогичные результаты можно получить для других значений отношения Зависимость от при различных значениях показана на рис. 5.11; во всех случаях при построении этих кривых использовались оптимальные значения отношения Здесь также проведена линия указывающая положение порога. Ее уравнение получается в результате использования передаточной функции (64) в формуле (3):

Для сравнения на рисунке приведены кривые Для случая оптимальных предыскажений (см. рис. 5.7) и типичная кривая для случая ЧМ. Рассмотрение рис. 5.11 показывает, что простая система с предыскажениями обладает почти такой же помехоустойчивостью, что и оптимальная нереализуемая схема. Заметим, что в обоих случаях производится вычисление (т. е. предполагается, что имеется нереализуемый фильтр после петли). Следует указать, что фильтр, частотная характеристика которого показана на рис. 5.9, при является предыскажающий схемой, используемой в большинстве коммерческих систем радиовещания с ЧМ.

Рассматривая рис. 5.9, приходим к выводу, что эффект предыскажающей схемы выражается в том, что анализируемая система работает как система с ЧМ на низких частотах и как система с на высоких частотах При система вновь аналогична системе с ЧМ, однако на этих частотах практически не содержится информации о сообщении.

Аналогичные результаты можно получить для других спектров сообщений. Во всех случаях при помощи достаточно простых реализуемых схем предыскажений можно достигнуть помехоустойчивости, близкой к помехоустойчивости оптимальной системы угловой модуляции.

5.3.2. Краткие итоги

Начав в гл. 4 с системы ЧМ, мы рассмотрели иерархию проблем угловой модуляции. В каждом случае производился синтез оптимального приемника и оценка его помехоустойчивости. Центральным моментом нашего рассмотрения являются схемы оптимальной угловой модуляции (см. § 5.1 и 5.2). В п. 5.3.1 был произведен синтез субоптимальных предыскажающих схем, которые по среднеквадратиченой ошибке позволяют приблизиться к оптимальным системам угловой модуляции.

Остается рассмотреть еще два вопроса, чтобы завершить наше изложение.

1. Изложение теории модуляции в данной главе строилось исходя из предположения, что для передачи аналогового сообщения используется система угловой модуляции. На практике, однако, часто используются системы других типов. Например, сообщение можно дискретизировать и передавать выборочные значения методом частотно-импульсной модуляции. Если бы мы могли установить границу — определить потенциальную помехоустойчивость любой системы, используемой для передачи сообщения то получили бы в свое распоряжение некоторый абсолютный стандарт. Тогда можно было бы сравнивать рассмотренную оптимальную систему угловой модуляции и другие возможные системы с этими границами. В § 5.4 выведены выражения для потенциальной помехоустойчивости и произведено сравнение с этими границами помехоустойчивости оптимальных систем угловой модуляции.

2. Все наше рассмотрение строилось на использовании оптимального приемника. Во многих системах ЧМ в качестве демодулятора

используется ограничитель-дискриминатор. Представляет большой интерес сравнить по помехоустойчивости обычные приемники с ограничителем-дискриминатором с оптимальными приемниками. Такое сравнение даст нам основание судить, когда дополнительная сложность оптимальных приемников бывает оправданной. Сравнительному анализу обычных и оптимальных приемников посвящен § 5.5.