7.2. Метод марковских процессов

В этом параграфе мы используем метод марковских процессов для отыскания оптимального демодулятора. Наше изложение носит поверхностный характер, поэтому для более подробного рассмотрения интересующимся читателям следует обратиться к дополнительным источникам (в частности, [7-9]). И на этот раз будем предполагать, что сообщение является гауссовым случайным процессом с конечным представлением в переменных состояния, т. е.

где белый гауссов случайный процесс с ковариационной функцией

Хотя мы и не используем этот факт по ходу изложения, следует указать, что изложенную в данном параграфе процедуру можно также выполнить, когда уравнение состояния и уравнение наблюдения нелинейны и имеют форму

Отметим, что при некоторых ограничениях, налагаемых на является векторным марковским процессом, который необязательно является гауссовым. Ни один из ранее рассмотренных методов не позволяет решать задачи с сообщениями этого класса. Большинство результатов, которые будут получены в этом параграфе, можно также получить и для более общего процесса, описываемого уравнениями (78) и (79).

Вернемся теперь к модели в виде случайного процесса, описываемого соотношениями Ради простоты записи будем рассматривать сообщение, которое является скалярным гауссовым марковским процессом и которым передаваемое колебание модулировано каким-либо безынерционным видом модуляции. Принятое колебание записывается в виде

Процесс сообщения удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

где

Таким образом, при любых конечных сообщение является стационарным процессом и имеет спектр Баттерворта первого порядка. Далее, ввиду того, что марковский процесс первого порядка, его плотность вероятности при отсутствии всяких наблюдений удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка [см. (3.79)]

Однако, поскольку наблюдалось в течение интервала времени интересующая нас плотность вероятности является не безусловной плотностью, а плотностью, обусловленной наблюдаемым колебанием Обозначим эту плотность через

Заметим, что (86) есть плотность вероятности одной случайной величины (величины, обозначающей значение а в момент времени обусловленной наблюдаемым колебанием, и представляет собой четко определенную характеристику. Можно показать [9], что эта плотность вероятности удовлетворяет уравнению

где математические ожидания берутся по плотности Если формально ввести производную

то (87) можно формально записать в виде дифференциального уравнения

Соотношение между апостериорной плотностью и оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки хорошо известно. Оценка по минимуму среднеквадратической ошибки есть условное среднее апостериорной плотности (см. стр. 73 первого тома), т. е.

Умножая обе части (89) на А, интегрируя по и учитывая соответствующие условия на концах интервала, получаем (см. задачу 7.2.2)

Заметим, что (91) все еще содержит математическое ожидание по Как и следовало ожидать, это уравнение не решается для общего случая модуляции. В случае линейных методов модуляции легко показать (например, 18] или задача 7.2.1), что оно сводится к Для многих задач нелинейной модуляции добиться успеха можно путем разложения в ряд различных членов уравнения (91). Тогда, если предположить, что ошибка оценивания мала и наложить некоторые условия на моменты высших порядков, можно пренебречь членами второго и более высоких порядков и получить следующее приближенное уравнение (подробный вывод дан в гл. 4 книги [8]):

где через обозначена приближенная оценка по минимуму среднеквадратической ошибки. Функция есть приближенный условный [по средний квадрат ошибки, который удовлетворяет дифференциальному уравнению

с граничным условием

Заметим, что уравнение оценки (92) и дисперсионное уравнение (93) являются связанными. Заметим далее, что условная среднеквадратическая ошибка [т. е. ошибка при условии, что принято Приближения, которые необходимо допустить, чтобы получить справедливы, когда ошибка мала.

Мы видим, что уравнение (92) можно реализовать в виде структурной схемы, показанной на рис. 7.3. Эта реализация очень сходна со структурой устройства оценки по максимуму апостериорной вероятности, синтезированного в гл. 2, с той лишь разницей, что теперь фильтр в петле является автоматически реализуемым. Недостаток этой реализации — наличие связи между петлями.

В случае угловой модуляции можно показать, что этой связью обычно можно пренебречь. Например, при фазовой модуляции

Предполагается, что много больше наивысшей частоты в спектре сообщения и что система находится в статистически стационарном состоянии. В этом случае показано [8], что

удовлетворяет дисперсионному уравнению при подстановке

Для марковского процесса первого порядка это уравнение имеет вид

Структурная схема приемника показана на рис. 7.4. Эта структура точно совпадает с реализуемой частью приближенного приемника по максимуму апостериорной вероятности, который был синтезирован ранее (см. задачу

Рис. 7.3. Структурная схема устройства приближенной реализуемой оценки по минимуму среднеквадратической ошибки; сообщение со спектром Баттерворта первого порядка.

Аналогичные результаты можно получить для общей задачи угловой модуляции и для марковских процессов более высокого порядка. Получающиеся в итоге уравнения имеют вид

где

[см. (10) и (11)]. Граничные условия в этом случае записываются в виде

так как предполагалось, что процессс нулевым средним, и

Видим, что (99)-(103) тождественны (67) — (70), которые были получены методоминвариантного включения. Заметим, что в (68) можно теперь интерпретировать как приближенную условную среднеквадратическую ошибку.

Рис. 7.4. Оптимальный приемник: фазовая модуляция, сообщение со спектром Баттерворта первого порядка.

Ввиду того, что большая часть подробностей вывода была опущена, важно обратить внимание на ограничения полученного результата. Дифференциальное уравнение (91), определяющее условное среднее, является точным. Однако приближения, связанные с получением (92)-(93), соответствуют линеаризирующему допущению. Поэтому наш результат является приближенной оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки, соответствующей первому члену разложения в ряд точной оценки. Чтобы получить лучшее приближение, можно удержать большее число членов разложения (см., например, [10]). Трудность, связанная с этой процедурой, заключается в том, что двучленное приближение является уже столь сложным, что, вероятно, не представляет практического интереса.