4. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

В этой и следующей главах рассмотрены вопросы синтеза и оценки помехоустойчивости систем связи с угловой модуляцией. В гл. 1 утверждалось, что одной из причин использования систем с угловой модуляцией является то, что они позволяют производить обмен ширины полосы частот на отношение сигнал/шум. Другими словами, путем передачи сигнала с полосой спектра шире, чем у исходного сообщения, можно получить среднеквадратическую ошибку оценки сообщения меньше, чем в случае системы с амплитудной модуляцией (AM), работающей при таком же отношении сигнал/шум. Один из вопросов, который будет рассмотрен в данной главе, — количественное доказательство этого утверждения. Кроме того, будет установлено, как спектр сообщения и другие параметры системы влияют на синтез и качество системы.

В § 4.1 обсуждается модель системы частотной модуляции (ЧМ) и дается сводка необходимых формул по синтезу и оценке помехоустойчивости систем. В § 4.2 подробно рассматриваются вопросы синтеза фильтров. Параграф 4.3 посвящен вопросу о ширине полосы частот, занимаемой системами ЧМ. Наконец, в § 4.4 исследуются системы фазовой модуляции (ФМ) и производится сравнение систем ФМ, ЧМ и AM.

4.1. Модель для исследования системы частотной модуляции

Структурная схема передатчика показана на рис. 2.1. Передаваемый сигнал записывается в виде

где

Заметим, что здесь предполагается, что фильтр в модуляторе имеет постоянные во времени параметры. Кроме того, предполагается, что есть выборочная функция стационарного нормального случайного процесса с нулевым средним, имеющего спектральную плотность Следовательно,

В дальнейшем рассматривается канал с аддитивным белым нормальным шумом. Таким образом,

где шум обладает спектральной плотностью Структурная схема оптимального демодулятора для этого случая была выведена в гл. 2 и представлена на рис. 4.1. Соответствующая линеаризованная модель показана на рис. 4.2.

Рис. 4.1. Оптимальный демодулятор при угловой модуляции.

Напомним, что передаточная функция синтезируется такой, что в случае справедливости линейной модели величина является реализуемой оценкой фазы по минимуму среднеквадратической ошибки. Это необходимо для того, чтобы фазовая ошибка была как можно меньше; поэтому система будет работать в линейной области возможно большее время.

Рис. 4.2. Линейная модель системы с угловой модуляцией и оптимальным демодулятором.

Остальные два фильтра — с передаточными функциями и строятся так, что их выходные напряжения являются реализуемыми и нереализуемыми оценками сообщения по минимуму среднеквадратической ошибки соответственно.

В первых трех параграфах этой главы мы рассматриваем частотную модуляцию. В идеальной системе ЧМ

где девиация частоты. В п. 4.4.2 излагаются необходимые результаты по системам ФМ. В гл. 5 мы вернемся к рассмотрению общей задачи и исследуем вопрос выбора оптимальной передаточной функции предыскажающего фильтра.

Изложение материала данного параграфа насыщено большим количеством формул. Для упрощения построим все рассмотрение на основе простой задачи и сформулируем основные результаты, не производя их выкладок. Такой подход поможет читателю сначала уяснить главные положения, а в подробностях разобраться позднее.

Предполагается, что сообщение обладает однополюсным спектром

С учетом (1), (2), (4) и (5) принятый сигнал можно записать в виде

Помехоустойчивость системы будет зависеть от Необходимо синтезировать оптимальную систему и установить связь ее помехоустойчивости с этими четырьмя параметрами.

Допустим сначала, что фильтры в петле ФАПЧ построены на основе методов, описанных в § 2.5. Затем определим среднеквадратическую ошибку (СКО) в трех случаях оценки:

1. Реализуемая оценка фазы по минимуму СКО.

2. Реализуемая оценка сообщения по минимуму СКО.

3. Нереализуемая оценка сообщения по минимуму СКО.

В результате соответствующих выкладок (см. стр. 103) получим следующие выражения для средних квадратов ошибок:

где

есть отношение сигнал/шум в полосе сообщения. Из приведенных выражений видно, что ошибка зависит от и отношения В § 4.3 будет показано, - что параметр является удобной мерой ширины спектра (частотной полосы) передаваемого сигнала. (Вспомним, что основываясь на интуитивных представлениях, мы в § 2.2 также

подошли к этой идее.) Поскольку мера ширины спектра сообщения, отношение называют коэффициентом расширения спектра.

Из формул (8) — (10) видно, что все три среднеквадратические ошибки монотонно убывают по мере возрастания отношения, сигнал/шум. Ошибки оценивания сообщения при увеличении монотонно уменьшаются, а среднеквадратическая ошибка оценки фазы монотонно возрастает.

Для выяснения смысла приведенных результатов вспомним, какое значение имеет величина Мы исходим из предположения, что справедлива линейная модель, а это требует, чтобы

где - уровень ограничения (например, . Итак, чтобы наше исследование было справедливо, параметры и необходимо выбрать такими, чтобы значение Но, определяемое формулой (8), удовлетворяло условию (12).

Высказанные замечания предполагают следующую процедуру синтеза. Параметры считаем фиксированными. Требуется выбрать параметр таким, чтобы помехоустойчивость системы была максимальной (т. е. необходимо минимизировать ошибки Для этого выберем как можно большим при двух ограничениях:

1. Должно выполняться неравенство

Это условие носит название ограничение по порогу.

2. Нельзя выходить за пределы выделенной системе полосы частот. Это условие называется ограничением по полосе частот.

Если доминирующим условием является ограничение по порогу, то допустимое значение можно найти, если приравнять правую часть (8) величине и решить относительно В результате получим

Если теперь (14) подставить в (9) и (10), то получим зависимости СКО от отношения сигнал/шум, характеризующие помехоустойчивость системы. Эти зависимости представлены графически на рис. 4.3 для

С другой стороны, если преобладающим условием является ограничение по полосе, то для определения допустимого значения следует воспользоваться формулами (9) и (10). Эти зависимости также представлены на рис. 4.3.

Все рассмотрение частотной модуляции до сих пор основывалось на линейной модели. Чтобы определить условия, когда линейная модель уже несправедлива, и исследовать помехоустойчивость системы в нелинейной области, было проведено моделирование оптимальной системы [1]. При этом отношение фиксировалось при четырех различных значениях: 10, 25, 50 и 100.

Затем для каждого значения производилось измерение СКО реализуемой оценки как функции отношения сигнал/шум в полосе сообщения. Результаты этих измерений показаны на рис. 4.4. Нетрудно заметить, что при уменьшении отчетливо проявляется порог. Он наблюдается тогда, когда измеряемая дисперсия ошибки приближенно равна 0,5 рад. На рис. 4.4 показана расчетная ошибка (при использовании линейного приближения) для случая, когда расчетная ошибка (также при использовании линейной модели) равна 0,25 рад.

Рис. 4.3. Зависимость величины, обратной среднему квадрату ошибки, от отношения сигнал/шум при ЧМ, когда спектр сообщения соответствует спектру Баттерворта первого порядка.

Рис. 4.4. Помехоустойчивость реального демодулятора ЧМ в случае спектра Баттерворта первого порядка [1].

Видно, что во всяком случае для данного спектра, она служит хорошей разграничительно линией между линейной и нелинейной областями.

Ниже порога реальная среднеквадратическая ошибка демодуляции заметно выше расчетной ошибки, полученной исходя из линейной модели. Это объясняется двумя обстоятельствами:

1. Постепенным увеличением мгновенной фазовой ошибки, что приводит к нарушению справедливости приближения Этот эффект можно учесть, используя большее число членов разложения в ряд (2.46).

2. Перескоками циклов из одной точки равновесия в другую. Эти перескоки вызывают переходный процесс в оценке сообщения.

Второй фактор, по-видимому, является наиболее важным. В большинстве случаев его приходится измерять экспериментально (или путем моделирования). Результаты такого моделирования подтверждают, что изложенная процедура синтеза для данного конкретного спектра сообщения справедлива.

На этом завершается вводное рассмотрение задачи частотной модуляции. В § 4.2 и 4.3 анализ будет проведен более подробно; при этом будут рассмотрены и другие спектры сообщений.