5.2. Оптимальные предыскажающие фильтры при ограничении по полосе частот

В этом параграфе мы рассмотрим проблему оптимальной системы ЧМ с предыскажениями, когда отношение сигнал/шум настолько велико, что ограничение по порогу не является определяющим условием работы системы. При этих условиях для построения реалистичной модели системы необходимо учитывать ограничение по полосе частот. Структурные схемы рис. 5.1, 4.2 и 5.3 в этом случае все еще пригодны. Передаточная функция предыскажающего фильтра равна Напомним, что

Нереализуемая ошибка согласно (6) равна

В соответствии с (5) условие ограничения по полосе частот можно записать в виде

Ради простоты предположим, что дисперсия сообщения нормирована так, что

Поэтому, если бы у нас была обычная система то

Необходимо сравнить помехоустойчивость рассматриваемой системы и обычной системы ЧМ; поэтому требуется наложить такое же ограничение по полосе частот:

Это условие можно записать через спектр и передаточную функцию

или

где

Такая запись задачи существенно упрощает минимизацию ошибки, когда в модели учитываются ограничения. Так как в остальном задача аналогична случаю с ограничением по порогу, дальнейшее ее изложение можно значительно сократить.

Построим функционал

В результате его минимизации получим

где область изменения со, в которой выражение, заключенное в фигурные скобки, неотрицательно. Значение Я определяется путем подстановки (43) в (40):

Выражение для среднего квадрата ошибки получим из (34) и (43)

Точно так же, как в случае ограничения по порогу, эти результаты можно упростить, когда спектр сообщения является унимодальным. В этом случае представляет собой область где — значение , при котором спектр равен нулю.

Из (43) имеем

Решив (46) относительно X и подставив результат в (44), получим уравнение, определяющее со:

В результате получим следующее окончательное выражение для ошибки:

Заметим, что выше мы исходили из предположения, что система работает выше своего порога, так что справедлив анализ в линейном приближении. Приближенный пороговый уровень можно определить путем вычисления значения при котором средний квадрат фазовой ошибки равен 0,25. Для вычисления при произвольном унимодальном спектре сообщения используем в формуле (3) выражения (44) и (46). В результате получим

Основные результаты оптимизации при условии ограничения по полосе частот представлены формулами (43)- (48). Чтобы проиллюстрировать их применение, рассмотрим простой пример.

Пример. Пусть

Спектр сообщения унимодален и, следовательно, можно использовать формулы (47) и (48). Учшывая в формуле (47) выражение (50), получаем

где

Выполнив в (51) интегрирование и упростив полученное выражение, будем иметь следующее уравнение:

где

Это уравнение описывает как функцию коэффициента расширения спектра и отношения сигнал/шум в полосе сообщения Получающуюся нереализуемую ошибку демодуляции сообщения найдем путем интегрирования в (48):

Подставив в (55) значение из (53), получим нереализуемую среднеквадратическую ошибку. Результат вычисления представлен графически на рис. 5.7. Для вычисления подставим (50) в (49):

Используя значения из (53) в выражении (56) и требуя, чтобы определим ограничивающую линию, показанную на рис. 5.7.

На этом же графике для сравнения приведены результаты для обычной системы ЧМ (см. рис. 4.3). При больших значениях и имеем

Рис. 5.7. Зависимости и от при использовании оптимальной предыскажающей схемы и ограничении по ширине полосы частот.

При тех же условиях

Отношение соответствующих средних квадратов ошибок равно

Для пределов изменения параметров, показанных на графике, это соответствует выигрышу в Выигрыш возрастает по мере увеличения и Заметим, что порог имеет место при несколько большем значении

Другой способ сравнения систем ЧМ и оптимальной угловой модуляции — фиксировать и сравнивать значения ширины полосы частот, требуемые в этих двух системах для достижения одинаковой среднеквадратической ошибки. Из рис. 5.7 видно, что обычная ЧМ требует по крайней мере в пять раз более широкой полосы

стот, причем это отношение увеличивается при возрастании Видно также, что при данном спектре сообщения оптимальный предыскажающий фильтр обеспечивает значительный выигрыш по помехоустойчивости.

В этом параграфе и в § 5.1 были определены передаточные функции оптимальных предыскажающих фильтров при условии ограничения по порогу или по полосе частот. Можно также наложить оба эти ограничения одновременно и найти оптимальный фильтр для этих условий (например, [1]), однако достигаемый при этом выигрыш не окупает требуемого усложнения фильтра (для спектра Баттерворта первого порядка результат оказывается таким же).

Необходимо отметить, что оптимальные предыскажающие фильтры нереализуемы. В демодуляторах фильтр внутри петли является реализуемым, а фильтр, включаемый после петли, нереализуемым. При этом, хотя фильтр внутри петли и является реализуемым, его трудно реализовать на практике.

Как указывалось ранее, главная цель нашего рассмотрения оптимальной угловой модуляции — установить границы помехоустойчивости системы. В следующем параграфе мы синтезируем некоторые простые субоптимальные системы с предыскажениями и сравним их по помехоустойчивости с оптимальными системами угловой модуляции.