6.1. Системы с дискретизацией и квантованием

Модель интересующей нас системы связи показана на рис. 6.1. Выходной сигнал аналогового источника представляется выборочной функцией нормального случайного процесса Первоначально будем считать, что сообщение имеет ограниченный по ширине спектр, т. е.

Так как спектр ограничен по ширине, сигнал можно дискретизовать с интервалом секунд, не теряя информации. Поскольку процесс является нормальным и имеет равномерный спектр, его отсчеты — статистически независимые нормальные случайные величины. Каждый отсчет имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. Далее каждый отсчет квантуется на уровней, как показано на рис. 6.2. Ввиду того, что отсчеты распределены по нормальному закону с

нулевым средним, на всем протяжении дальнейшего изложения предполагается, что характеристика квантователя симметрична относительно нуля.

В литературе квантователи часто называют аналого-цифровыми преобразователями. В общем случае размеры интервалов квантования могут быть различны и вследствие этого выходные значения распределяются неравномерно. Обозначим концевые точки интервалов квантования координатами (или а выходные уровни — координатами

Рис. 6.1. Система с дискретизацией и квантованием.

В каждый данный момент времени выходной сигнал квантователя соответствует одному из уровней. Поэтому цифровая система связи в среднем должна передавать один из уровней (или сигналов) каждые секунд. При построении цифровой части системы связи имеется несколько вариантов, из которых укажем лишь следующие системы, представляющиеся логически обоснованными:

Рис. 6.2. Амплитудная характеристика квантователя.

1. Если где k — целое число, то можно представить в виде двоичных символов (цифр). Каждую из этих цифр можно затем передать последовательно, используя какую-либо двоичную систему связи. Чтобы передавать информацию в темпе ее выдачи дискретизатором, необходимо передавать одну двоичную цифру каждые секунд.

2. Можно использовать систему из сигналов (например, ортогональных сигналов). В этом случае скорость передачи информации должна соответствовать одному из сигналов каждые секунд.

3. Можно запомнить квантованных отсчетов и поставить передачу цифр в зависимость от значений этих отсчетов. Тогда придется передавать один из возможных сигналов каждые секунд.

Перечисленные три системы подробно рассмотрены в следующих параграфах. В процессе изложения материала будут встречаться различные вопросы, связанные с модификацией основной модели системы.

Для иллюстрации рассмотрим, к примеру, второй вариант построения системы для случая В передатчике осуществляется отображение квантованных отсчетов в сигналы:

Предполагается, что мощность передатчика равна и что все сигналы обладают одинаковой энергией:

Далее эти сигналы передаются по каналу. Сначала рассмотрим канал с аддитивным белым гауссовым шумом и со строго ограниченной односторонней полосой все наши рассуждения непосредственно относятся к простым безынерционным (без памяти) каналам с замираниями, например, к релеевскому каналу. Приёмник осуществляет наблюдение сигнала на интервале длительностью секунд и решает, какой из четырех сигналов был передан. Затем производится обратное отображение этого сигнала в аналоговое напряжение, которое мы обозначим через Заметим, что выбирается из множества уровней .

Повторение этой процедуры дает последовательность выборочных значений. Эта последовательность оценок используется для восстановления аналогового сигнала по формуле

Операцию, описываемую формулой (4), физически можно осуществить путем пропускания импульсной последовательности

через идеальный фильтр нижних частот.

Средний квадрат ошибки оценки равен

Поскольку и совместно стационарны, I не является функцией времени и мы можем записать

На рис. 6.3 показана типичная последовательность отсчетов и соответствующих величин в системе.

Рис. 6.3. Типичные последовательности.

Видно, что существует два возможных источника ошибки в восстановленном сигнале — ошибка квантования и ошибка решения. Ошибка квантования возникает потому, что отсчеты являются непрерывными величинами, а выходные оценки принадлежат к конечному множеству значений. Кроме того, ошибки можно допустить при вынесении решения о том, какой сигнал был передан (как показано для моментов времени В итоге помимо ошибки квантования имеется ошибка, обусловленная выбором неправильного квантованного уровня (комбинации). Количественно эти ошибки будут рассмотрены в следующих параграфах.

Общее грубое представление о поведении ошибки легко получить из интуитивных соображений. При увеличении ошибка квантования уменьшается; с другой стороны, число сигналов возрастает. Поскольку энергия каждого сигнала — величина постоянная, вероятность ошибочного решения будет увеличиваться (напомним рис. 4.23 на стр. 308 первого тома). Ошибка квантования — это локальная ошибка, а ошибка решения — глобальная ошибка. С ошибками этих двух типов мы уже встречались ранее при рассмотрении задач оценки. Между этими двумя факторами, по-видимому, должна существовать взаимосвязь и возможен компромиссный обмен, оптимальные условия которого можно попытаться отыскать. В следующих четырех параграфах будет рассмотрено влияние устройства квантователя и метода передачи на помехоустойчивость системы.