6.4. Системы с ортогональными сигналами

Рассмотрим теперь систему из второй категории систем, описанных в § 6.1. И на этот раз будем использовать квантователь с минимальной среднеквадратической ошибкой, описанный в § 6.2. Теперь выходные уровни квантователя отображаются в систему ортогональных сигналов:

где

Полная модель системы связи показана на рис. 6.9. Для выработки правила решения для приемника последуем примеру 3, изложенному на стр. 306—308 первого тома. Определим сначала систему достаточных статистик:

Средний квадрат ошибки, обусловленной ошибками решения, определяется формулой (23) и равен

Оптимальный приемник осуществляет операции над так, чтобы ошибка была минимальной. Эта процедура соответствует испытанию по критерию Байеса при априорных вероятностях и матрице потерь с элементами

Это частный случай задач, решенных при изучении первого тома (см. задачи 2.3.2 и 2.6.1 на стр. 145—161 первого тома). К сожалению, получающийся в результате синтеза приемник оказывается довольно сложным (см. задачу 6.4.1).

Рис. 6.9. Система с использованием ортогональных сигналов.

Ради простоты будем использовать субоптимальный приемник, который минимизирует вероятность ошибки решения. В этом приемнике осуществляется вычисление

и выбор соответствующего наибольшему Для вычисления вероятности ошибки заметим, что нормальные случайные величины с дисперсией по всем гипотезам. Их средние значения равны

Переходные вероятности для рассматриваемой системы можно записать в виде:

Выражение для ошибки получим путем вычисления (42) численными методами и подстановки результата в (23). Полную ошибку системы получим как сумму ошибки решения и ошибки квантования (см. рис. 6.4). Результирующая зависимость от отношения сигнал/шум показана на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Ошибка при использовании системы с ортогональными сигналами зависимость от

Точно так же, как в случае двоичной системы без кодирования, нам необходимо рассмотреть работу системы как при ограничении по порогу, так и при ограничении по полосе частот. При малых значениях используются два ортогональных сигнала. По мере увеличения происходит переход на четыре ортогональных сигнала, затем на восемь и т. д. Результирующая помехоустойчивость описывается огибающей характеристик (рис. 6.10), которая является кривой помехоустойчивости при работе в режиме ограничения по порогу, встречавшейся нам ранее. В данном случае порог ниже, чем в случае двоичной системы без кодирования, причем это различие возрастает с увеличением Требуемая полос линейно зависит от (логарифмически от так как сигналы ортогональны. Поэтому система этого типа неэффективно использует доступную полосу частот.