4.2.4. Примеры синтеза системы ЧМ

В качестве первого примера возьмем случай, который был описан в § 4.1.

Пример. Пусть спектральная плотность сообщения

Для описания фазового процесса нам необходим двумерный вектор состояния. Введем обозначения

Уравнения состояния и наблюдения имеют вид

где

Эта задача совпадает с примером рассмотренным на стр. 631— 633 первого тома. Реализация передаточных функций методом переменных состояния показана на рис. 4.6, который ничем не отличается от рис. I-6.51. Предполагается статистически установившееся (стационарное) состояние. Элементы ковариационной матрицы ошибок равны:

где

Рис. 4.6. Реализация передаточных функций методом переменных состояния. -

Перечертим теперь структурную схему рис. 4.6 в форме, соответствующей требуемой модели петли обратной связи. Структурная схема этой формы представлена на рис. 4.7. Заметим, что передаточная функция фильтра в петле равна

что соответствует «неидеальной петле второго порядка», с которой мы встречались при рассмотрении задачи синхронизации [см. (3.73)].

Чтобы определить передаточную функцию нереализуемого фильтра после петли, найдем сначала передаточную функцию, связывающую Из рис. 4.6 находим

где

Известно, что общая передаточная функция в соответствии с формулой (22) должна быть

Подстановкой (47) и (50) в выражение, приведенное на рис. 4.5, получим выражение для передаточной функции фильтра после петли.

Результирующую среднеквадратическую ошибку для этого случая получим из формулы (26):

где

Реализуемый средний квадрат ошибки при оценке сообщения определяется формулами (44) и (45). В результате получим

Ошибка оценки фазы определяется формулами (42) и (45):

Выражения для ошибок (51) — (54) образуют основу нашего вводного рассмотрения задачи ЧМ в § 4.1.

Рис. 4.7. Модель оптимальной петли обратной связи.

Сходные результаты получаются для энергетических спектров более высокого порядка. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим сообщения со спектром Баттерворта второго порядка и со спектром, ограниченным по полосе частот.

Пример. Пусть

Выкладки, связанные с отысканием оптимальных фильтров, - довольно утомительны. Для определения среднеквадратических ошибок используем формулу (28). Подробно это сделано в [3] (см. также задачу 4.2.8). Результаты для реализуемой среднеквадратической ошибки показаны на рис. 4.8. Эта же система была промоделирована с целью исследования ее нелинейного поведения. Результаты моделирования приведены на рис. 4.9. Представляют интерес две особенности этих кривых:

Рис. 4.8. Зависимость величины, обратной среднему квадрату ошибки, от отношения сигнал/шум при ЧМ в случае спектра Баттерворта второго порядка.

1. В линейной области среднеквадратическая ошибка при оценивании сообщения со спектром Баттерворта второго порядка значительно меньше (примерно на чем минимальная среднеквадратическая ошибка в случае спектра Баттерворта первого порядка.

2. Порог имеет место при несколько меньшем значении среднеквадратической фазовой ошибки в петле .

Третьим примером завершается наше рассмотрение задачи синтеза системы ЧМ.

Пример. Рассмотрим спектр сообщения, ограниченный по занимаемой полосе частот,

Этот спектр служит полезной идеализацией во многих практических задачах. Для такого спектра сообщения мы можем лишь аппроксимировать оптимальные реализуемые фильтры, включаемые внутри и после петли. Один из методов получения подобного приближения — это решить данную задачу для случая спектра Баттерворта высокого порядка (скажем, и использовать этот результат. Дело облегчается тем, что и можно вычислить, не прибегая к фактическому определению передаточных функций этих фильтров, просто путем использования формул (25), (28) и (29). В результате для фазовой ошибки получим

Чтобы вычислить найдем сначала

где

Путем подстановки (57) и (58) в (28) получим выражение для Выражение для и получается, если использовать (26):

Формулы (57) — (60) впервые были выведены в [4]. Результаты представлены графически на рис. 4.10.

Рис. 4.9. Результаты моделирования оптимального демодулятора в случае спектра Баттерворта второго порядка [3].

Рис. 4.10. Зависимость величины, обратной среднему квадрату ошибки, от отношения сигнал/шум при ЧМ в случае сообщения с ограниченным по ширине спектром.

Из графиков видно, что кривые в области ограничения по порогу идут круче, чем в случае спектров Баттерворта первого и второго порядков. В надпороговой области кривые, соответствующие фиксированным значениям также обладают большей крутизной. Из (60) следует, что при больших значениях параметра

Полученные результаты показывают, что пока достаточно велико, чтобы система находилась над порогом, можно достичь заметного уменьшения среднеквадратической ошибки демодуляции сообщения путем увеличения Легко убедиться, что — монотонно убывающая функция параметра монотонно возрастающая функция параметра для любого спектра [для этого достаточно продифференцировать (25) и Таким образом, если имеется возможность работы системы в надпороговой области, то желательно выбрать как можно больше. Однако при качественном

рассмотрении вопросов синтеза демодулятора в § 2.2 было установлено, что увеличение ведет к расширению спектра модулированного сигнала. Теперь необходимо количественно показать, как ширина спектра связана с девиацией частоты