4.4.2. Системы фазовой модуляции

В системе фазовой модуляции передаваемый сигнал имеет вид

а принимаемый сигнал —

где выборочная функция белого гауссова случайного процесса со спектральной плотностью

Оптимальный приемник можно синтезировать, используя процедуры, изложенные в гл. 2. Нетрудно показать, что линеаризованную систему можно представить моделью, изображенной на рис. 4.12. Как видно, эта модель тождественна с моделью, рассмотренной в примере 3 гл. 6 первого тома (стр. 564— 567 и 570— 571), за исключением того, что роль мощности играет и эффективный уровень шума равен Поэтому полученные там результаты можно использовать непосредственно.

Так, к примеру, в случае однополюсного спектра Баттерворта согласно и (2.73) имеем

Средние квадраты ошибок для семейства спектров Баттерворта определяются формулами в следующем виде:

где

Прежде чем пытаться истолковать эти результаты, обсудим некоторые практические соображения.

Если мы попытаемся построить систему ФАПЧ для формирования этих оценок, то столкнемся с двумя проблемами, которые не возникали в случае ЧМ. Первая проблема заключается в том, что петля ФАПЧ не будет захватываться по сигналу и поэтому наш анализ в линейном приближении не имеет смысла (т. е. система не будет работать). Это обстоятельство можно продемонстрировать двумя различными способами. Первый из них состоит в следующем. Допустим, что генераторы передатчика и приемника смещены по частоте на произвольно малую, но не нулевую величину Используя формулы (3.43) — (3.46), нетрудно показать, что фазовая ошибка (не модуль ) является неограниченной. Это объясняется тем, что нуль в передаточной функции компенсирует полюс передаточной функции УГ. Второй способ убедиться в наличии указанной трудности — это положить

где посредством представлены нестабильности генераторов передатчика и приемника (см. задачу 2.6.2). Если предположить, что имеет спектральную плотность

то легко показать, что среднеквадратическая фазовая ошибка является неограниченной для любого конечного

Итак, мы убедились, что если имеется незначительная частотная расстройка или уход фазы, то система ФАПЧ не будет работать. Это затруднение можно преодолеть, если для определения фильтра в петле использовать (90) и (91). Такой анализ выполнен в задаче 4.4.5. В результате получается система ФАПЧ с неидеальной петлей второго порядка (см. табл. 3.1. Иначе частотную расстройку можно учесть путем использования методов, изложенных в п. 3.4.2 (см. задачу 4.4.6). В любом случае получается система ФАПЧ, которая будет захватываться по сигналу. Расчеты помехоустойчивости произведены в упомянутых выше задачах. Как и следовало ожидать, если расстройка мала или время велико, то результаты (86) — (88) являются практически правильными.

Существует еще одна проблема, с которой приходится считаться при построении системы. Напомним из § 3.3, где обсуждалось явление перескоков фазы, о том, что независимо от отношения сигнал/шум в петле обратной связи будут иметь место случайные перескоки фазы. При этом в выходном напряжении, представляющем сообщение, появляется сдвиг на Для устранения этого недостатка на выходе петли включают фильтр верхних частот с очень малой постоянной времени. Вопросы количественного расчета этого фильтра рассмотрены в задаче 4.4.7. Как и следовало ожидать, когда частота перескоков мала, справедливы результаты оценки помехоустойчивости (86) - (88).

Коль скоро в демодуляторе указанные выше особенности учитываются, формулы (86) — (88) можно использовать более уверенно. Мы уделили этим проблемам реализации довольно большое внимание лишь потому, что если их не учитывать, то наш математический анализ в значительной мере утратит свою ценность.

Как и в случае ЧМ, вначале необходимо определить ширину спектра передаваемого сигнала. Из (70) непосредственно следует (см. задачу 4.3.1), что среднеквадратическая ширина спектра фазо-модулированного сигнала равна

где

есть среднеквадратическая ширина спектра сообщения. Нетрудно установить, что в случае однополюсного спектра Баттерворта бесконечна, и поэтому величина не может служить полезной мерой для данного конкретного спектра сообщения.

Если предположить, что конечная, то коэффициент расширения спектра будет равен

«Двойка» здесь появляется ввиду того, что спектр передаваемого сигнала рассматривается на несущей частоте, где он является двухсторонним по полосе частот и симметричным.

При выборе параметров системы необходимо учитывать оба ограничения — по порогу и по ширине полосы частот. Если определяющим является ограничение по порогу, то целесообразно индекс модуляции увеличить до такого значения, при котором

Значение найдем в результате совместного решения (86), (87) и (95). Подставив его в (88), получим . Если определяющим является ограничение по ширине полосы частот, то следует увеличить до такого значения, при котором будет равна допустимой среднеквадратической ширине полосы.

Этим завершается наше рассмотрение систем фазовой модуляции. В следующем параграфе мы произведем краткое сравнение систем ФМ, ЧМ и AM.