3.2.1. Система ФАПЧ первого порядка при постоянной частотной расстройке

Модуль коэффициента передачи (коэффициент усиления) петли мы обозначим по-новому — через так как у в (17) была определена через уровень шума. В этом случае

и (28) сводится к

с начальным условием

Теперь предположим, что соответствует постоянной частотной расстройке, описанной в начале этого параграфа. Тогда

и (30) сводится к

На рис. 3.5 построена зависимость от Такое графическое представление называют траекторией на фазовой плоскости или фазовым портретом. Отметим, что время здесь появляется только в качестве параметра. Нетрудно сделать ряд выводов.

1. Если то возрастает и рабочая точка перемещается вправо. Так, при начальных ошибках (0) и значение возрастает, стремясь асимптотически к точке Здесь и система находится в состоянии равновесия (т. е. произошел захват фазы и система вошла в синхронизм). Из (33) имеем

2. Когда значение убывает и рабочая точка перемещается влево. При начальной ошибке величина уменьшается, асимптотически стремясь к точке

Рис. 3.5. Зависимость от для петли первого порядка.

3. Точку называют точкой устойчивого равновесия, так как если на систему воздействуют возмущения, вызывающие небольшие отклонения от точки в любом направлении, система возвращается обратно в точку Если линеаризовать систему в области точки равновесия и получить в этой области устойчивую линейную систему, то точка равновесия будет устойчивой.

4. Пока удовлетворяет неравенству

рабочая точка системы будет смещаться в направлении точки равновесия Область, в которой это условие соблюдается, называют основной полосой захвата. Она ограничена двумя точками равновесия Эти точки называются точками неустойчивого равновесия, так как система стремится уйти от этих точек. Заметим, что линеаризированная модель в области неустойчивого равновесия является неустойчивой.

5. Если точка находится вне основной полосы захвата, то она будет перемещаться к следующей устойчивой точке. Эти точки устойчивого равновесия размещаются через каждые рад на оси

то точек равновесия не существует и система ФАПЧ не может войти в режим синхронизма. Если то всегда положительна и ошибка возрастает монотонно. Таким образом, если мы ограничены классом систем ФАПЧ первого порядка, то единственным путем увеличения полосы захвата является увеличение

Хотя при анализе в этом параграфе мы исходим из предположения, что уровень шума равен нулю, нам следует помнить, что некоторый шум всегда присутствует. Влияние увеличения при наличии шума легко установить, обратившись к материалу § 2.7. Нетрудно показать, что шумовая полоса системы ФАПЧ возрастает линейно с увеличением

Рис. 3.6. Ошибка в петле первого порядка.

7. Величину можно найти как явную функцию времени путем разделения переменных в (33) и последующего интегрирования:

Предполагается, что находится в основной полосе захвата. Если то из замечания следует, что

Если

В обоих случаях есть положительная, монотонно возрастающая функция которую можно инвертировать и получить Величину можно получить и иначе — путем численного интегрирования (33). Некоторые типичные кривые ошибок показаны на рис. 3.6. Нижние три кривые соответствуют величине равной 0; 0,25 и 0,75 соответственно. В каждом случае мы полагаем, что немного превышает Сначала система медленно отклоняется от и так как знаменатель в правой части (37) — величина малая. Далее ошибка изменяется быстро, как показано на рис. 3.6. Наконец, ошибка приближается к равновесному значению, определяемому формулой (34). Верхняя кривая на рис. 3.6 соответствует В этом случае точек равновесия не существует и ошибка возрастает монотонно.

8. Если то со временем система приближается к точке равновесия При малых стационарную ошибку можно аппроксимировать выражением

Этими замечаниями исчерпывается наше рассмотрение системы ФАПЧ первого порядка. К недостаткам систем ФАПЧ первого порядка следует отнести ограниченную полосу захвата и ненулевую ошибку в устойчивом состоянии, равную Поэтому естественный дальнейший шаг в нашем анализе — попытаться изменить фильтр в петле АПЧ и устранить указанные недостатки.

Чтобы обосновать выбор фильтра в петле АПЧ, рассмотрим вопрос о том, как следует модифицировать фильтр в петле с целью получения нулевой ошибки в устойчивом состоянии. Ответить на этот вопрос затруднительно ввиду нелинейного поведения системы. Однако можно найти необходимое условие, которому должен отвечать этот фильтр; для этого достаточно заметить, что если ошибка в устойчивом состоянии стремится к нулю, то при большом значении времени справедлив линейный анализ. Поэтому необходимое условие нулевой ошибки в устойчивом состоянии состоит в том, чтобы

при использовании линейного анализа. Поскольку все рассматриваемые функции тождественно равны нулю при отрицательном времени, можно использовать преобразования Лапласа и теорему о конечном значении для вычисления предела в левой части (42).

Из теоремы о конечном значении имеем

Но

где

Используя (44) и (45) в (43), видим, что необходимое условие получения нулевой ошибки в устойчивом состоянии заключается в том, чтобы

Если рациональная функция, то из (46) следует, что должна иметь по крайней мере один полюс в начале координат. Поэтому адекватным будет фильтр с передаточной функцией

Без постоянного члена замкнутая система ФАПЧ является неустойчивой. Заметим, что пока у нас нет гарантий, что мы можем достичь нулевой ошибки. При некоторых начальных условиях можно никогда не достичь области, где справедлив линейный анализ. Поскольку система с фильтром, описываемым передаточной функцией (47), может быть описана дифференциальным уравнением второго порядка, ее называют системой ФАПЧ второго порядка. Другие фильтры также приводят к уравнениям второго порядка [см. (73)]. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что система, в которой используется фильтр (47), удовлетворяет условию (42), назовем ее идеальной системой ФАПЧ второго порядка. Рассмотрим подробно нелинейное поведение систем ФАПЧ второго порядка в следующем параграфе.