3.4. Примыкающие вопросы

В этом параграфе мы кратко рассмотрим шесть вопросов, которые представляют интерес в рамках задачи синхронизации. Некоторые из них имеют преимущественно теоретическое значение, однако большинство являются практически важными. Перечислим сначала эти вопросы, а затем кратко их обсудим.

1. Оптимальные следящие системы с изменяющимися во времени параметрами.

2. Оптимальные следящие системы с постоянными во времени параметрами.

3. Системы с минимальным временем захвата.

4. Типы фазовых детекторов.

5. Захват при наличии шума.

6. Полосовые ограничители до петли.

3.4.1. Оптимальные следящие системы с изменяющимися во времени параметрами

Первой, представляющей интерес, задачей является случай, когда система ФАПЧ находится в режиме захвата и наблюдается малое случайное скачкообразное изменение частоты. Помимо этого на вход системы воздействует аддитивный шум. Требуется построить систему, минимизирующую среднеквадратическую фазовую ошибку. Предполагается, что справедлива линейная модель системы. Кроме того, предполагается известным время, когда происходит скачок частоты.

Опишем теперь конкретную математическую модель. Линеаризованная модель системы ФАПЧ показана на рис. 3.16. Эта структурная схема идентична схеме рис. 2.18, за исключением того, что содержит в петле фильтр с изменяющимися во времени параметрами. На вход линейной модели петли воздействует колебание

(Подстрочным индексом «то» обозначается то, что величина относится к модели.) Шум имеет спектральную плотность и

где случайная величина с нулевым средним и дисперсией

Требуется синтезировать фильтр в петле с тем, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки

для всех Поскольку нестационарный процесс, ясно, что фильтр в петле, параметры которого изменяются во времени, будет оптимальным. Укажем, как можно определить такой оптимальный фильтр и его характеристики.

Рис. 3.16. Линеаризованная модель системы ФАПЧ с фильтром, имеющим изменяющиеся во времени параметры (со «следящим» фильтром).

В большинстве случаев оптимальную систему реализовать практически невозможно, однако знание ее дает возможность понять, насколько хорошо мы можем решить указанную задачу.

Эта задача легко формулируется с позиций теории фильтра Кальмана-Бьюси (см. § 6.3 первого тома). Вектор состояния определяется формулой (7). Начальные условия определяются из соотношения (9) при Уравнение состояния имеет вид

а уравнение наблюдения

где

Оценку по минимуму среднеквадратической ошибки можно получить непосредственно из

Дисперсионное уравнение имеет вид

Решение для в замкнутой форме можно получить, используя свойство 16 на стр. 619 первого тома (см. также задачу 3.4.1). Окончательное выражение для среднего квадрата ошибки имеет вид

Левый верхний элемент матрицы здесь является среднеквадратической фазовой ошибкой. Видим, что ошибка стремится к нулю при Синтез фильтра в петле вынесен в задачу 3.4.1.

Основная цель этого примера — проиллюстрировать использование фильтров с изменяющимися во времени параметрами в системе ФАПЧ. Во многих физических ситуациях эта реализация была бы непрактичной, так как она строится на предположении, что время, когда происходит скачок, известно. В задачах 3.4.2 и 3.4.7 рассматриваются аналогичные ситуации, когда имеется информация о времени появления скачка.