2.5.2. Синтез фильтра

Все наши результаты основываются на предположении, что

мало. Из этого следует, что фильтр в петле необходимо выбирать с такой функцией чтобы было минимальным. Будем называть такой фильтр оптимальным фильтром в петле, а соответствующую импульсную переходную функцию помечать подстрочным индексом

Если результирующая среднеквадратическая ошибка удовлетворяет условию (48), то линейное приближение справедливо и оптимальный демодулятор существует. В связи с этим возникают два вопроса:

1. Если существует какой-либо фильтр петли, такой, например, что , то стоит ли стремиться к оптимальному фильтру, если среднеквадратическая фазовая ошибка, получающаяся при его использовании, равна, скажем, 0,02?

2. По-видимому, мы выбираем фильтр петли с таким расчетом, чтобы линейное приближение было справедливым. Но может быть вся система работала бы лучше, если бы модель петли вела себя нелинейно?

Рис. 2.18. Другой вариант линеаризованной модели системы.

На первый вопрос имеется два ответа. Во-первых, независимо от своего среднеквадратического значения величина всегда будет достаточно большой, чтобы предположение о линейности время от времени нарушалось. Делая дисперсию как можно меньшей, мы лишь пытаемся минимизировать вероятность подобных событий. Во-вторых, предположим, что некоторое значение дисперсии гарантирует линейность модели, а оптимальный фильтр петли дает дисперсию, равную Можно показать, что в этом случае передаточную функцию можно изменять, увеличивая тем самым дисперсию ошибки петли вплоть до (и тем не менее используя при этом оптимальный фильтр в петле). Это изменение должно повлечь за собой уменьшение ошибки демодуляции сообщения

Чтобы ответить на второй вопрос, вспомним результат (58). Было показано, что коль скоро ФАПЧ работает как линейная система, она дает оценку сообщения по минимуму среднеквадратической ошибки. Поэтому в нелинейном режиме она не может работать лучше.

Выполним теперь намеченную процедуру. Перечертим реализуемую часть структурной схемы рис. 2.16, как показано на рис. 2.18. Ошибка здесь показана в явном виде. Штриховой линией обозначено, что данная операция является частью общего анализа. Передаточная функция замкнутой петли между равна

Необходимо выбрать такую чтобы было минимальным. Это эквивалентно утверждению, что необходимо, чтобы была передаточной функцией оптимального линейного фильтра для оценки Но это известная задача линейной фильтрации Винера, которая решена в § 6.2 первого тома. Так как шум является белым, можно использовать более простую форму выражения

где

Передаточную функцию оптимального фильтра петли теперь получить не представляет труда. Из имеем

Как было показано в § 6.2.5 первого тома, передаточная функция фильтра петли имеет такие же полюсы, как поэтому этот фильтр является устойчивым реализуемым фильтром. Используя (61) в выражении (55), получаем единственное решение для фильтра после петли:

то

Теперь мы полностью закончили синтез структуры оптимального демодулятора.

Средний квадрат ошибки ФАПЧ легко определить из (6.152) первого тома

Видим, что средне квадратическая ошибка зависит от спектра процесса изменения мгновенной фазы и отношения сигнал/шум Таким образом, чтобы обеспечить

отношение синал/шум должно быть достаточно велико. Если это условие выполняется, то имеет силу линейное приближение при исследовании поведения системы.

Таким образом, мы показали, что если справедлива линеаризованная модель системы, то на выходе фильтра после петли имеет место оценка по максимуму апостериорной вероятности, а соответствующий демодулятор является оптимальным. Рассмотрим теперь некоторые практические соображения, связанные с реализацией системы.