9.2. Итоги второго тома

Как было указано во введении к этому тому, по своему содержанию он охватывает четыре основные раздела:

1. Приложение теории оценок по максимуму апостериорной вероятности к задаче нелинейной модуляции.

2. Подробное исследование задачи синхронизации и угловой модуляции.

3. Сравнительный анализ различных методов передачи непрерывных сообщений.

4. Изложение других альтернативных подходов к общей задаче нелинейной оценки.

В этом параграфе мы резюмируем наиболее важные результаты, изложенные при рассмотрении указанных разделов, и еще раз обратим внимание на внутреннюю логическую структуру книги.

В гл. 2 была кратко рассмотрена модель системы угловой модуляции. Чтобы выработать интуитивное представление о результате, который позднее будет получен аналитически, было дано представление о системах ФАПЧ и системах с обратной связью по частоте (ОСЧ), использовав эвристическое обоснование. Позднее мы установили, что система ФАПЧ играет центральную роль в структурной схеме демодулятора, получаемой аналитическим путем. Чтобы синтезировать оптимальный приемник, в качестве исходного момента были взяты интегральные уравнения, выведенные в гл. 5 первого тома для оценки по максимуму апостериорной вероятности выборочной функции гауссова сигнала. Эти уравнения были конкретизированы для частного случая, когда передаваемый сигнал является синусоидальным колебанием, модулируемым по фазе полезным сообщением.

Затем были рассмотрены оптимальные демодуляторы и их помехоустойчивость. Сперва было установлено, что нелинейное интегральное уравнение, описывающее демодулятор, можно наглядно представлять в виде структурной схемы, содержащей нереализуемые фильтры. От этого вывода уже легко прийти к использованию демодуляторов со структурной схемой такого же типа, если нереализуемые фильтры заменить их некоторым реализуемым приближением. С учетом этого была разработана нелинейная модель демодулятора. Затем на различные параметры системы налагались некоторые ограничения, чтобы от нелинейной ее модели перейти к линеаризованной. На основе линеаризованной модели была изложена процедура синтеза демодулятора. Существенные моменты этой процедуры — использование фильтра, включаемого в петлю, который минимизирует среднеквадратическую ошибку оценки фазы, и фильтра, включаемого после петли, напряжение на выходе которого является нереализуемой оценкой сообщения по минимуму среднеквадратической ошибки. Было установлено, что если справедлива линеаризованная модель, то нереализуемый фильтр после петли выдает на своем выходе эффективную оценку и, следовательно, синтезированный в линейном приближении демодулятор является оптимальным как по критерию минимальной среднеквадратической ошибки, так и по критерию максимальной апостериорной вероятности.

Этот вывод служит обоснованием для более подробного исследования номехоувтойчивости реального демодулятора, когда он используется в двух ролях, о которых упоминалось ранее, а именно: в качестве устройства синхронизации и в качестве демодулятора в приемнике сигналов с ФМ или ЧМ.

В главе 3 исследовалась задача синхронизации. Сначала была рассмотрена простая задача, когда единственным возмущением является нестабильность по фазе задающего генератора передатчика. Было показано, что при конкретной предложенной модели фазовой нестабильности оптимальным приемником служит система ФАПЧ первого порядка. Далее мы перешли к анализу этой системы в нелинейной области. Сначала было проведено исследование поведения петли в нелинейной области при отсутствии шума. В этом случае классический анализ методом фазового портрета позволяет исследовать поведение системы при различных частотных расстройках, ускорениях цели и других воздействиях на генератор. В частности, он позволяет исследовать вхождение в синхронизм (захват по фазе) в зависимости от начальных условий. Гораздо более трудной задачей являлся нелинейный анализ при наличии шума. Для петли первого порядка систему можно описать, используя уравнение Фоккера-Планка, которое разрешимо аналитически для плотности вероятности в стационарном режиме. Для петель более высокого порядка мы смогли описать систему векторным уравнением Фоккера-Планка, но получить какое-либо точное решение оказались не в состоянии. Наконец, были упомянуты некоторые примыкающие вопросы построения систем синхронизации, как, например, использование фазового детектора с различными характеристиками и ограничителей перед петлей.

В главе 4 была рассмотрена частотная модуляция. Прежде всего была построена модель системы ЧМ. Затем мы приступили к исследованию поведения оптимальных демодуляторов ЧМ. Было показано, что построение системы ограничивается двумя факторами: ограничением по мощности и ограничением по полосе частот. В рамках указанных ограничений была рассмотрена процедура синтеза фильтров, включаемых внутри петли, для оптимального демодулятора ЧМ. Было установлено, что в области над порогом система ЧМ дает заметное уменьшение ошибки по сравнению с системой линейной модуляции. Этим объясняется необходимость исследования других систем угловой модуляции с целью установить, нельзя ли уменьшить среднеквадратическую ошибку еще в большей мере.

В гл. 5 были рассмотрены оптимальные системы угловой модуляции. Результаты гл. 4 указывали на то, что при построении оптимальной системы придется считаться с ограничениями по порогу и по полосе. С учетом этих ограничений были синтезированы оптимальные схемы предыскажений, минимизирующие среднеквадратическую ошибку демодуляции сообщения. Было установлено, что когда существует только ограничение по порогу, помехоустойчивость получающейся системы практически такая же, как у оптимальной системы ЧМ. Однако, когда определяющим условием становится ограничение по полосе частот, значительный выигрыш в помехоустойчивости можно получить,

используя оптимальную предыскажающую схему. Этот вывод не был неожиданным ввиду широкого использования метода введения предыскажений в коммерческих системах ЧМ. Трудность с синтезированными оптимальными схемами предыскажений заключалась в том, что они являлись нереализуемыми. Чтобы обойти это затруднение, мы рассмотрели простые субоптимальные схемы предыскажений. Было установлено, что для сообщения с типичным спектром можно достигнуть помехоустойчивости, практически мало отличающейся от помехоустойчивости оптимальной системы.

Изучение оптимальных систем угловой модуляции убедило нас в целесообразности определения границы помехоустойчивости любой системы связи. Было установлено, что граница помехоустойчивости, которую любая система может достигать при передаче непрерывного сообщения от гауссова источника, существует. При ограничении по порогу, как было отмечено, оптимальная система угловой модуляции требует примерно на 6 дБ больше мощности, чем наилучшая возможная система. Было также произведено сравнение оптимальных систем угловой модуляции с установленной границей при ограничении канала по среднеквадратической ширине полосы. Для спектра сообщения Баттерворта первого порядка оптимальная система угловой модуляции требует на 6 дБ больше мощности, чем наилучшая возможная система. При спектрах более высокого порядка помехоустойчивость оптимальной системы угловой модуляции отклоняется от границы все в большей мере при увеличении отношения сигнал/шум.

Затем было произведено сравнение обычных дискриминаторов ЧМ с оптимальными демодуляторами, синтезированными ранее. Было показано, что над порогом обе системы ведут себя одинаково. Однако порог оптимального демодулятора проявляется при отношении сигнал/шум в полосе частот спектра сообщения, которое на 3 - 6 дБ ниже, чем порог обычного дискриминатора. Это выигрыш по порогу, который достигается усложнением структурной схемы оптимального демодулятора.

В гл. 6 был рассмотрен вопрос об альтернативных методах модуляции для передачи непрерывного сообщения по каналу связи. В основном наше внимание было сосредоточено на системах с дискретизацией по времени и квантованием по уровню. После предварительного обсуждения некоторых исходных соображений по построению квантователя было выведено выражение для ошибки восстановления исходного сообщения через ошибку квантования и ошибку, обусловливаемую неправильными решениями в цифровой части системы. Затем были исследованы двоичные системы без кодирования и системы с использованием ортогональных сигналов для определения влияния ошибки решения на общую среднеквадратическую ошибку. Было установлено, что обеим этим системам присуще явление порога. Когда определяющим условием является ограничение по порогу, двоичная система без кодирования с использованием равных и противоположных сигналов обладает помехоустойчивостью, весьма близкой к помехоустойчивости оптимальной системы ЧМ. Когда определяющим условием является ограничение по полосе частот, для улучшения помехоустойчивости

необходимо перестроить всю систему сигналов. Система с использованием ортогональных сигналов имеет порог примерно на 3 дБ ниже, чем двоичная система, однако доступная полоса частот при этом используется неэффективно. Затем был рассмотрен вопрос о кодировании источника. Обсуждение здесь было довольно кратким и преследовало лишь одну цель — указать некоторые возможности, которые можно использовать при построении системы.

В гл. 7 были изложены два альтернативных подхода к задаче нелинейной оценки. При обоих подходах используется задание сообщений в переменных состояния; при некоторых приближениях оба подхода приводят опять к системе дифференциальных уравнений, определяющей приближенные оценки по максимуму апостериорной вероятности и по минимуму среднеквадратической ошибки. Это обсуждение имело своей целью дополнить материал, изложенный ранее, оно также дало нам возможность решать более широкий класс задач.

В гл. 8 была исследована проблема передачи непрерывных сообщений по каналам со случайно изменяющимися во времени параметрами. Мы сумели определить структурную схему оптимального демодулятора, но оказались не в состоянии исследовать его помехоустойчивость в общем случае. Для каналов с медленно изменяющимися параметрами нам удалось получить некоторые результаты путем анализа в квазистационарном приближении.

Наконец, в § 9.1 были кратко рассмотрены многоканальные системы и системы с разнесением (системы передачи сообщений по параллельным каналам). В этом томе завершается рассмотрение проблемы оценки непрерывного сигнала, начатое в гл. 5 первого тома.

В следующем параграфе будет дан краткий обзор материала, излагаемого в томе третьем и в отдельном выпуске «Пространственно-временная обработка сигналов».