5.1. Оптимальные предыскажающие фильтры при ограничении по порогу

В этом параграфе мы синтезируем оптимальный фильтр модулятора в предположении, что преобладающим является ограничение по порогу. Полезно сделать два предварительных замечания:

1. Передаточная функция фильтра модулятора выбирается с целью минимизации нереализуемой среднеквадратической ошибки оценки сообщения. Нереализуемая среднеквадратическая ошибка используется в качестве критерия ввиду того, что она представляет более фундаментальное ограничение помехоустойчивости системы.

2. Предполагается, что фильтры в синхронных демодуляторах оптимальны для конкретной используемой передаточной характеристики

Поскольку мы располагаем выражениями в замкнутой форме для различных среднеквадратических ошибок, нет надобности определять передаточные функции фильтров внутри петли, пока не будет установлена оптимальная характеристика

Так как модель данной задачи и выражения для ошибок уже изложены достаточно подробно, процедура оптимизации не вызывает затруднений. Из (3) и (6) видно, что в выражения для ошибок входит только, квадрат модуля функции. Поэтому удобно ввести обозначение

Величина неотрицательна при всех значениях со. Переписав (3) и (6), будем иметь следующую задачу на минимизацию: минимизировать

при условии, что

и

В условии (9) знак равенства поставлен потому, что убывает монотонно как функция при любом значении Условие (9) можно учесть, использовав множитель Лагранжа. Для этого составим функцию

Рис. 5.4. Поведение функции

Ее можно записать иначе:

если ввести обозначение

где неотрицательная величина. Функцию можно минимизировать путем минимизации функции при каждом значении со. 1 Если построить график величины в зависимости от при фиксированных то станет ясно, что при неположительных А минимума не существует. Поэтому представляет интерес только случай положительного значения

При положительном А функция может иметь вид кривых, показанных на рис. 5.4. На рис. 5,4, а имеется единственный внутренний минимум. В этом случае минимум можно отыскать путем дифференцирования функции по и приравнивания результата дифференцирования нулю. На графике рис. 5.4, б минимум находится на границе, соответствующей точке

Чтобы осуществить минимизацию, зафиксируем со, продифференцируем по и приравняем результат к нулю

Если существует решение для положительного то это значение является оптимальным; обозначим его через . В противном случае Итак,

если Решив (14), получим

если это выражение положительно. Иначе

Объединив (15) и (16), получим

Обозначим частотный диапазон, в пределах которого правая часть (15) положительна, через Тогда можно записать

Область значений определяется путем подстановки (18) в (9) и решения относительно . В результате получим:

Заметим, что (18) и (19) необходимо решать одновременно для

Характер множества иллюстрируется рис. 5.5. Если спектр сообщения является унимодальным, то представляет собой сплошной (без разрывов) интервал, как показано на рис. 5.5, а:

где

Решив (21) относительно X и подставив результат в (19), получим

Для завершения решения необходимо решить (22) относительно со.

Если спектр сообщения не унимодален, то множество может быть разрывной областью, как показано на рис. 5.5, б. В этом случае для отыскания используются непосредственно (18) и (19).

Рис. 5.5. Примеры на характер множества а — унимодальный спектр; б - многомодальный спектр.

В обоих случаях передается сигнал, соответствующий тем участкам спектра, где спектральная плотность превышает некоторый уровень, зависящий от и полностью устраняются прочие участки спектра. Заметим, что оптимальная функция никогда не будет соответствовать реализуемому фильтру, так как ее модуль равен нулю на некотором участке оси со (вспомним критерий Палея-Винера [2]). В §5.3 будут рассмотрены реализуемые приближения к оптимальному предыскажающему фильтру.

Нереализуемая ошибка при использовании оптимального предыскажающего фильтра определяется путем подстановки (17) в (8)

Выражение (23) можно свести к виду

где длина двухсторонней области в герцах. Подстрочный индекс «ОАМ» означает оптимальную угловую модуляцию («optimum angle modulation»). Когда спектр унимодален, выражение (24) можно записать в виде

В формулах (24) и (25) первое слагаемое соответствует ошибке в оценке той части сообщения спектр которой заключен в области Второе слагаемое — это ошибка в оценке части сообщения лежащей в пределах частотной области, которая не передавалась. Для иллюстрации этих представлений рассмотрим пример.

Пример. Пусть

Рис. 5.6. Ошибки в оптимальной системе угловой модуляции и в оптимальной системе ЧМ в случае спектра Баттерворта первого порядка,

Поскольку функция монотонная, будет неразрывной областью, простирающейся от до со. Чтобы найти со, воспользуемся формулой (22):

Проинтегрировав по частям, получим

где

Формула (28) однозначно определяет со при любой желаемой дисперсии Получающаяся ошибка демодуляции в соответствии с (25) равна

Выполнив интегрирование, будем иметь:

Выбором согласно (28) полностью определяется следовательно, и Зависимость величины, обратной от при представлена графически на рис. 5.6. При больших

Мы еще не ответили на вопрос, какой выигрыш по сравнению с простой системой ЧМ дает применение оптимальных предыскажающих фильтров, синтезированных выше. В § 4.2 была синтезирована оптимальная система ЧМ при ограничении по порогу. Ошибка в этой

системе определялась по формулам (4.51) и (4.54). Для сравнения этот результат также показан на рис. 5.6. При имеем

так что разность между (32) и (33) пренебрежимо мала (0,94 дБ).

В следующем параграфе мы рассмотрим случай, когда определяющим условием является ограничение по полосе частот. В этом случае выигрыш будет более значительным.