8.2.1. Уравнения оценки по максимуму апостериорной вероятности для безынерционного релеевского канала

Выведем уравнения, которые определяют интервальную оценку сообщения по максимуму апостериорной вероятности. Раз речь идет об интервальной оценке по максимуму апостериорной вероятности, то, как известно,

где предполагается, что функция обратная импульсной переходной функции предыскажающего фильтра с изменяющимися во времени параметрами, существует. Следовательно, можно рассматривать как интересующее нас сообщение.

Чтобы сформулировать задачу, необходимо знать условную ковариационную функцию колебания Поскольку

условная ковариационная функция равна

Так как колебание является условно гауссовым процессом, оно полностью характеризуется своим условным средним и условной ковариационной функцией. Отметим, что ковариационная функция колебания зависит от безынерционно. Другими словами, зависит только от и и не зависит от Кроме того, предполагается, что процессы, спектры которых по отношению к являются низкочастотными.

Как и ранее, задачу оценки параметра сигнала решаем путем разложения в ряд и оценки коэффициентов ряда. Запишем это разложение в виде

где

Обозначим первые К коэффициентов ряда через вектор у. Условную ковариационную функцию для -членной аппроксимации можно записать в виде

При такой форме записи легко видеть, что здесь непосредственно применимы результаты, полученные в третьего тома, посвященном

вопросам оценки нескольких параметров. Согласно имеем

где обратное ядро определяется соотношением

Как и прежде, введем по определению

Прежде чем положить необходимо интерпретировать смысл производных по У. Сначала заметим, что на основании (29)

Далее заметим, что вследствие предположения о том, что спектры являются низкочастотными, сделанного сразу после (23), функцию

всегда можно записать как безынерционную функцию Чтобы убедиться в этом, заметим, что если собственные значения и собственные функции равны и соответственно, то собственные значения первого члена (23) [который мы обозначим как равны и с каждым собственным значением связаны две собственные функции и Это можно проверить путем подстановки в интегральное уравнение, определяющее собственные значения функции и учета ее низкочастотного характера. Итак, ковариационную функцию можно представить в виде ряда

Далее, точно так же, как (1—3. 154), функцию можно разложить в ряд:

Выражение (34) мы написали с тем, чтобы показать явную безынерционную зависимость от Это позволяет нам написать

Нетрудно заметить, что уравнение (28) симметрично по переменным и и Подставив (35) в (31), (31) в (28) и (28) в (30), положив и вспомнив, что

получим

что и является искомым результатом. В следующем параграфе будет рассмотрено решение этого уравнения.