3.3. Нелинейный анализ при наличии шума

Теперь можно вернуться к общей модели, представленной на рис. 2.19. Интересующие нас моменты этой модели повторены на рис. 3.11. До сих пор при анализе системы ФАПЧ, работающей в присутствии шума, мы исходили из предположения, что ошибка достаточно мала для того, чтобы приближение

Рис. 3.11. Модель системы ФАПЧ.

было справедливым. Теперь необходимо проанализировать поведение системы, когда это приближение уже более не справедливо. Существует несколько подходов к решению нелинейной задачи.

Мы кратко рассмотрим следующие три метода:

1. Метод Фоккера-Планка.

2. Метод возмущения.

3. Метод приближения.

Начнем наше рассмотрение с применения метода Фоккера-Планка к анализу петли первого порядка, описанной в § 3.1.

3.3.1. Метод Фоккера — Планка

В § 3.1 была синтезирована оптимальная система ФАПЧ в линейном приближении для отслеживания частоты нестабильного генератора. Синтезированная структурная схема представлена на рис. 3.1. (Эта схема совпадает со схемой рис. 3.11 при Проведем теперь исследование ее качества при работе в нелинейной области.

Сначала упростим структурную схему рис. 3.1. Так как тракт обратной связи является линейным, вход можно перемещать по контуру, включая интегратор, сохраняя при этом эквивалентность схемы; в результате получим структуру, представленную на рис. 3.12. Можно также соединить два входа в один общий вход:

Поскольку статистически независимы, можно использовать (2.50), (16) и (17) для получения спектральной плотности

Окончательный вид модели показан на рис. 3.13. Единый источник шума учитывает влияние аддитивного шума канала и нестабильность генератора.

Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее эту систему, записывается в виде

Левая часть уравнения отображает динамику системы, а правая — воздействующее на систему колебание.

В § 6.3 первого тома рассматривались линейные дифференциальные уравнения, когда воздействующим на систему колебанием являлся белый гауссов шум. Выходные процессы в том случае были нормальными, так как системы, которые мы изучали, были линейными.

Рис. 3.12. Модифицированная модель системы ФАПЧ.

Рис. 3.13. Модифицированная структурная схема.

Теперь перед нами дифференциальное уравнение первого порядка, но нелинейное. Можно показать, что это приводит к негауссову марковскому процессу.

Марковость процесса позволяет составить дифференциальное уравнение, описывающее плотность вероятности колебания как функцию времени. Обозначим плотность вероятности колебания через Здесь переменная, характеризующая область изменения — размах случайной величины указывает, что плотность вероятности является функцией времени. Плотность вероятности должна удовлетворять уравнению Фоккера-Планка

при начальном условии

Так как коэффициенты уравнения периодичны по переменной можно найти его решение по модулю Чтобы найти это решение, рассмотрим интервал . Необходимыми граничными условиями являются условие периодичности

и условие нормировки

Решение уравнения (79) для неустановившегося режима определить затруднительно. Поэтому рассмотрим только решение при и будем считать, что система находится в статистически устойчивом состоянии. В этом случае

Используя (83) в (79), получаем

или

где

Из (20) видно, что есть просто величина, обратная среднему квадрату ошибки, вычисленному в линейном приближении:

Интегрирование (20) дает дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его и вычисляя граничные условия, получаем

где модифицированная функция Бесселя. Плотность вероятности показана на рис. 3.14.

Напомним, что при больших значениях

Рис. 3.14. Точная плотность вероятности ошибки в системе ФАПЧ [5].

Разлагая косинус в (88) в ряд и считая, что велико, получаем

Таким образом, при больших плотность вероятности является приближенно гауссовой с дисперсией Это как раз то, что следовало ожидать, исходя из линейного приближения, использованного при выводе (20).

Рис. 3.15. Ошибка в системе ФАПЧ первого порядка [5].

Точное выражение для дисперсии при любых значениях можно определить, используя (88). Окончательная формула для ошибки имеет вид

Зависимость дисперсии от показана на рис. 3.15. Для сравнения здесь приведена также дисперсия, определенная исходя из линейной модели. Видно, что линейная модель оказывается точной для значений примерно до 0,25.

Далее нам необходимо исследовать поведение системы в режиме проскакивания (перескоков) циклов при наличии шума. В частности, найдем среднее время между перескоками цикла. Если определить перескок цикла как достижение точки то можно показать, что среднее время между перескоками равно

или, после приведения ко времени когерентности,

При больших значениях выражение для среднего времени между перескоками можно записать в виде

Средняя частота перескоков определяется как величина, обратная среднему времени между перескоками:

Видим, что при больших значениях она убывает по экспоненциальному закону.

Полезно убедиться, что (95) позволяет судить о точности проведенного ранее исследования на основе линейной модели. Из рис. 3.15 видно, что когда 0,25,

Согласно (876) имеем

Используя (97) в (95), убеждаемся, что если то среднее время между перескоками равно

Из этих формул следует, что является достаточной гарантией того, что петля работает в линейном режиме большую часть времени и формулы, выведенные в линейном приближении, описывают ее поведение вполне адекватно.

Мы видим, что для петли первого порядка, на вход которой воздействует колебание, фаза которого описывается винеровским процессом, можно получить достаточно полное описание статистического поведения. В частности, можно найти плотность вероятности фазовой ошибки когда петля находится в статистически установившемся состоянии, и среднее время между перескоками. Если на вход петли воздействует синусоидальный сигнал постоянной частоты, то также можно получить аналогичные результаты.

Для петли более высокого порядка можно написать векторное уравнение Фоккера-Планка. Вывод этого уравнения не особенно труден, однако точное решение даже для стационарной плотности получить невозможно. Витерби [18] исследовал случай петли второго порядка с передаточной функцией

при входном сигнале постоянной частоты, когда

Им получено приближенное решение для плотности вероятности в установившемся состоянии

где — средний квадрат фазовой ошибки, обусловленной шумом, в предположении линейности модели. Для петли второго порядка

(см. задачу 3.2.10). Заметим, что по форме (101) совпадает с (88). Чарлиз и Линдсей провели теоретическое и экспериментальное исследование случая неидеальной петли второго порядка, у которой

при наличии сигнала с постоянной частотой на входе, и получили различные приближенные аналитические решения. Кроме того, для подтверждения выведенных приближенных выражений ими был получен ряд экспериментальных результатов, которые свидетельствуют о том, что плотность вероятности вида (101) является хорошим приближением, когда превышает

Дальнейшее изучение приближенных решений векторного уравнения Фоккера-Планка в сочетании с результатами строго поставленных экспериментов (или моделирования), по-видимому, позволит понять поведение системы ФАПЧ при наличии шума. Заметим, что переходное решение исходного дифференциального уравнения в частных производных (79) или его векторного аналога позволило бы нам исследовать задачу захвата при наличии шума. До сих пор мы были не в состоянии получить решение этой задачи.

Помимо плотности вероятности фазовой ошибки метод Фоккера—Планка позволяет исследовать поведение петли в режиме перескоков. Точных решений для петель более высокого порядка пока не получено.

Рассмотрим теперь кратко некоторые другие возможные методы.