7.1. Подход к оценке по максимуму апостериорной вероятности на основе дифференциального уравнения

В этом параграфе рассмотрим задачу оптимальной нелинейной оценки с другой точки зрения. Так как изложение этого вопроса довольно пространно и сложно, целесообразно начать с перечисления основных пунктов его плана.

1. Сначала опишем модель нелинейной оценки посредством переменных состояния.

2. Определим результирующую интервальную оценку по максимуму апостериорной вероятности посредством интегрального уравнения, выведенного в гл. 5 первого тома.

3. Выведем дифференциальные уравнения и граничные условия, которым должна удовлетворять оценка по максимуму апостериорной вероятности. Эти уравнения эквивалентны интегральным уравнениям, указанным в п. 2.

4. Далее выведем дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять приближенная реализуемая точечная оценка по максимуму апостериорной вероятности.

5. Синтезируем структуру приемника, к которой приводят эти дифференциальные уравнения в рамках задачи угловой модуляции.

Выполним теперь намеченную программу подробно.

7.1.1. Интервальная оценка по максимуму апостериорной вероятности

Интересующая нас модель не отличается от модели, описанной в гл. 5 первого тома. Сообщение является выборочной функцией нормального процесса с нулевым средним. Предположим, что его но генерировать путем воздействия белым гауссовым шумом с нулевым средним на динамическую систему с конечным числом измерений. Уравнение состояния для процесса сообщения имеет вид

Сообщение связано с вектором состояния линейным преобразованием

Начальные условия записываются в виде

Возбуждающая функция имеет ковариационную функцию

Передаваемый сигнал записывается как . С учетом (2) передаваемый сигнал можно с одинаковым успехом записать как функцию вектора состояния в виде

Принимаемое колебание представляется в виде

где выборочная функция белого гауссова шумового процесса с нулевым средним и ковариационной функцией

Аддитивный шум и входной процесс статистически независимы. Матричное интегральное уравнение, которое определяет интервальную оценку по максимуму апостериорной вероятности для данной

задачи, является частным случаем

где

Далее нам необходимо вывести соответствующие дифференциальные уравнения и относящиеся к ним граничные условия. В основе своей процедура вывода здесь аналогична той, что используется в приложении. Она заключается в дифференцировании интегрального уравнения и придании результату формы, удобной для последующих преобразований.

Чтобы упростить запись в процессе вывода, введем в рассмотрение функцию

Подставив (11) в (9) и продифференцировав обе части по получим

Напомним, что

где переходная матрица. Она удовлетворяет уравнению

при начальном условии

Производная ковариационной матрицы (13) равна

На основании выражения на стр. 614 первого тома и формулы

Подставив (14), (17) и (18) в (16), а результат — в (12), и учитывая (9), (11) и (13), получим

Введем теперь в рассмотрение новый вектор

Для получения дифференциального уравнения, которому удовлетворяет сначала продифференцируем обе части (20):

Учитывая (18) в (21), а затем в (20), получаем

Нетрудно найти теперь требуемое граничное условие в точке Из (20)

Далее покажем, что

Согласно (9) имеем

Для получения последовательного ряда выражений (25) были использованы выражения (13), (4) и (20).

Резюмируем теперь полученные результаты. Интервальная оценка по максимуму апостериорной вероятности является решением дифференциальных уравнений

при граничных условиях

Заметим, что эти уравнения эквивалентны исходному интегральному уравнению (так как в процессе нашего вывода не делалось никаких приближений). Следовательно, если можно получить решение дифференциального уравнения, то оно будет также и решением исходного интегрального уравнения.

В случае линейной модуляции

и

С учетом (31) из (27) получим

Уравнения (26), (28), (29) и (32) тождественны линейным уравнениям, определяющим нереализуемый фильтр, которые были выведены в задаче 6.6.4 первого тома. Методы решения этой системы уравнений рассмотрены в [2].

В нелинейном случае необходимо решать нелинейную задачу с граничными значениями в двух точках, которая определяется уравнениями (26) — (29). Возможные методы решения кратко рассмотрены в [3].

Важно отметить, что эти уравнения соответствуют необходимому условию, поэтому результатом может быть только локальный максимум.

Хотя интегральная оценка по максимуму апостериорной вероятности имеет важное значение во многих приложениях, для нас она представляет интерес в основном как промежуточный этап на пути к построению реализуемого устройства оценки по максимуму апостериорной вероятности. Рассмотрим теперь именно эту задачу.