8.3.2. Граница идеального измерения

Рассмотрим задачу совместной оценки, возникающую при необходимости оценить два статистически независимых случайных параметра . Нас интересует среднеквадратическая ошибка при оценивании параметра а. Интуитивно очевидно, что если параметр известен или может быть измерен точно, то наименьшая среднеквадратическая ошибка при оценивании параметра а не должна превышать ошибки, допускаемой в том случае, когда на самом деле необходимо оценить параметр Докажем теперь это положение.

Предположим, что результат наблюдения представляется вектором Средний квадрат ошибки равен

Если бы было известно, что то можно было бы использовать процедуру оценивания, которая бы зависела от 5, скажем Теперь предположим, что мы выводим нижнюю границу среднеквадратической ошибки, получающейся при использовании любой оценки. Иначе говоря, покажем, что

для каждой . В действительно рассматриваемой задаче оценка равна Однако любую оценку можно считать вырожденной оценкой . Поскольку (98) справедливо для каждой то

для каждой

Далее заметим, что мы уже располагаем границей вида (98). Это хорошо известная нам граница Крамера — Рао для одной величины, где

Подставляя (100) и (98) в (97), получаем

Заметим, что правая часть (101) всегда столь же велика, как результат, получаемый при использовании границы Крамера — Рао для нескольких величин, так как

Отметим, что граница идеального измерения из интуитивных соображений представляется весьма пригодной для задачи оценки параметров сигнала в релеевском канале ввиду того, что оптимальный приемник осуществляет измерение параметров канала.

Для применения границы (101) сначала вычисляем границу для задачи, в которой

полагая вначале, что известные функции, а затем осуществляя усреднение по . В общем случае сделать это может оказаться затруднительно. В следующем параграфе мы рассмотрим случай, когда можно получить хорошее приближение к решению данной задачи.