2.6. Практические соображения

Существует ряд вопросов, которые необходимо учитывать при реализации полученных результатов, Обсудим их кратко в данном параграфе.

2.6.1. Модель генератора

Первым рассмотрим вопрос, связанный с генератором переменной фазы (см. рис. 2.12). Почти во всех практических системах входное напряжение управляет частотой, а не фазой колебаний управляемого генератора. В модели рис. 2.14 фаза является величиной, присутствующей в ветви обратной связи.

Рис. 2.19. Модель системы с угловой модуляцией и демодулятором в ввиде системы ФАПЧ.

Для учета влияния управляемого генератора (УГ) введем в ветвь обратной связи в модели системы интегратор. Чтобы сохранить прежние соотношения между входом и выходом системы, несколько видоизменим фильтр, стоящий в петле, и фильтр после петли. Получающаяся в результате этой модификации модель системы показана на рис. 2.19, где

С реальным УГ связан коэффициент пропорциональности, который ради простоты в (67) и (68) положен равным единице.

2.6.2. Фильтрация после петли

Второй вопрос связан с нереализуемым фильтром, стоящим после петли. Как было выяснено в гл. 6 первого тома, его можно аппроксимировать сколь угодно точно, допустив некоторую задержку. Хотя

такой метод дает наилучший результат, часто из-за сложности от него приходится отказываться. Другой метод, позволяющий избежать эту сложность, заключается в использовании для оценки сообщения оптимального реализуемого фильтра. Соответствующая линейная модель (рис. 2.20) вытекает непосредственно из рис. 2.19. Реализуемый фильтр после петли обрабатывает сигнал Он построен так, что, когда справедлива линейная модель, на выходе фильтра имеет место реализуемая оценка сообщения по минимуму среднеквадратической ошибки.

Рис. 2.20. Система с реализуемой фильтрацией после петли ФАПЧ.

Обозначим эту оценку через Следует сделать несколько замечаний:

1. Фильтр обрабатывает колебание так каконо является первым колебанием, доступным в форме электрического напряжения,

2. Напомним, что реализуемое оценивание по минимуму среднеквадратической ошибки и линейная фильтрация — операции, не являющиеся коммутативными (см. стр. 588 первого тома).

Рис. 2.21. Модель для синтеза реализуемого фильтра после петли ФАПЧ.

Поэтому оценку нельзя получить путем пропускания через

3. На практике мы бы не строили два фильтра в параллель. Можно либо включить два фильтра каскадно в петле, либо построить схему так, чтобы появлялись в ней как напряжения. Эта процедура демонстрируется на стр. 101 в виде примера. Этот пример иллюстрирует также эффективность метода переменных состояния при синтезе линейных фильтров. Выбирая как компоненты вектора состояния, мы получаем обе реализуемые оценки как часть решения.

Эквивалентная модель для вычисления функции показана на рис. 2.21. Передаточная функция оптимального фильтра вытекает

непосредственно из формулы (6.181) первого тома:

Реализуемую среднеквадратическую ошибку можно вычислить, используя формулу Для произвольной передаточной функции выражения в замкнутой форме для среднеквадратической ошибки не существует.

2.6.3. Шумовая полоса системы ФАПЧ

В некоторых задачах нас интересует поведение системы ФАПЧ, когда мгновенная фаза передаваемого сигнала либо постоянная величина, либо какая-либо другая детерминированная функция. В этом случае единственным источником случайной фазовой ошибки является аддитивный шум. Когда справедлива линейная модель системы, среднеквадратическую фазовую ошибку, обусловливаемую действием шума, можно вычислить без труда. Из рис. 2.20 и формулы (51) видим, что

Величина, стоящая в скобках, называется шумовой полосой системы ФАПЧ

Нетрудно заметить, что просто ширина двухсторонней полосы (в Гц) фильтра с коэффициентом передачи, равным единице, и прямоугольной частотной характеристикой, который имел бы выходную дисперсию если бы на его входе действовал шум Таким образом,

Шумовая полоса является полезной обобщенной характеристикой линеаризованной системы, так как все системы с одинаковыми значениями полосы В и имеют одну и ту же выходную дисперсию, когда входной шум является белым. Позднее будут вычислены шумовые полосы для некоторых типичных систем.

2.6.4. Внешнее управление генератором переменной фазы

Как будет показано в следующей главе, часто бывает необхедимо сдвигать частоту УГ в заданный частотный диапазон для настройки системы ФАПЧ в режим слежения. Для этого достаточно просто ввести дополнительное внешнее управление по входу УГ. Это обстоятельство можно учесть в модели системы непосредственно; подробнее вопросы, связанные с введением внешнего управления, будут рассмотрены позднее.