3.2.2. Система ФАПЧ второго порядка при постоянной частотной расстройке

Используя (47) в (28), получаем дифференциальное уравнение для системы ФАПЧ второго порядка

Если использовать (45) и выполнить указанные в (48) операции дифференцирования, то будем иметь

где еще предстоит определить начальные условия Для исследования поведения системы желательно иметь как можно меньше параметров. Путем изменения масштаба времени один из параметров в (49) можно исключить. Пусть

Используя (50) в (49), получаем

Обозначив

и заметив, что

получим

Теперь можно построить график поведения системы в плоскости Основная идея здесь остается такой же, как в случае системы первого порядка, но детали усложняются. Как и в случае первого порядка, такие графики называют траекториями на фазовой плоскости (или фазовыми портретами).

Рис. 3.7. Траектории на фазовой плоскости (фазовый портрет) петли второго порядка [8].

Подробности их построения рассмотрены в ряде работ (например, [6] или [7]). На практике построение фазовых портретов легко выполняется при помощи аналоговых или цифровых вычислительных машин. Преимущество формы записи (54) заключается в том, что для вычерчивания графика нам необходимо задаваться лишь отношением Позже будет показано, что значение этого отношения, которое обычно используется на практике, равно

Именно для такого значения построен фазовый портрет рис. 3.7. По горизонтальной оси откладывается величина по вертикальной оси — величина

Сплошными линиями изображены траектории рабочей точки системы. При любой паре значений состояние системы характеризуется движением рабочей точки по траектории до какой-либо точки равновесия. Хотя данный фазовый портрет зависит только от отношения параметр входит в него двояким путем — в виде временного масштаба и в виде начального условия на вертикальной оси. Фактический сигнал ошибки равен

Начальное условие записывается в виде

Последнее равенство следует из (45). Напомним, что с отношением мы встречались при рассмотрении системы ФАПЧ первого порядка. В том случае условие

было необходимо для того, чтобы система входила в режим синхронизации. Позже мы увидим, что это условие в случае системы ФАПЧ второго порядка более не является необходимым.

Для иллюстрации этих идей рассмотрим два типичных случая. В первом случае начальными условиями являются

Соответствующая фазовая траектория показана на рис. 3.7. На рис. 3.8 представлен график функции Поскольку максимальная фазовая ошибка составляет около рад., представляет интерес сравнить ее с результатами, получаемыми при помощи линейного анализа, которые также нанесены на рис. 3.8. Как и следовало ожидать, результаты мало отличаются друг от друга.

Во втором случае мы рассмотрим начальные условия

Видим (рис. 3.7), что система «проскакивает» цикл (период) и входит в режим синхронизации в следующей точке равновесия. Зависимость ошибки от представлена на рис. 3.9.

Возвращаясь к рис. 3.7, нетрудно видеть, что по мере увеличения отношения система ФАПЧ «проскакивает» все большее число циклов, прежде чем попадет в точку равновесия. Если вычислить фазовый портрет для больших значений то можно убедиться, что система будет входить в синхронизм при сколь угодно больших отношениях Недостаток таких режимов заключается в том, что время вхождения становится большим.

Рис. 3.8. Зависимость для петли второго порядка, случай 1.

Рис. 3.9. Зависимость для петли второго порядка, случай 2.

Витерби [5] вывел приближенное выражение для времени, за которое система прекращает проскакивать циклы. Если велико, то

Это выражение справедливо при произвольных значениях отношения Нетрудно показать, что шумовая полоса системы ФАПЧ равна (см. задачу 3.2.10)

так что при малой шумовой полосе время захвата больше. Прежде чем обсуждать возможные пути избавления от этого недостатка, рассмотрим случай воздействия на систему ФАПЧ второго порядка входного сигнала более общего вида.