7. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК. ДРУГИЕ ПОДХОДЫ

В главе 5 первого тома были выведены интегральные уравнения, определяющие интервальную оценку сообщения по максимуму апостериорной вероятности. Для линейных систем (методов) модуляции оценка по максимуму апостериорной вероятности соответствует оценке по минимуму среднеквадратической ошибки и оптимальным устройством обработки является линейный фильтр. Для большого класса сообщений можно решить это интегральное уравнение, найти оптимальную оценку и определить качество системы.

В общем нелинейном случае решить интегральное уравнение невозможно. Однако форма уравнения указывает на то, что структура устройства оценки должна включать обратную связь. Этот тип устройства оценки был подробно исследован в данной книге для случая угловой модуляции. Поскольку фильтры внутри петли являются нереализуемыми, устройство оценки было аппроксимировано реализуемой системой, последовательное которой включается фильтр, реализуемый с задержкой. Если справедлива линеаризованная модель петли, то результирующая система имеет ошибку демодуляции, достигающую нижней границы минимальной среднеквадратической ошибки оценки сообщения, выражение для которой было выведено в гл. 5 первого тома, и поэтому эта система является оптимальной. Это привело нас к синтезу фильтров петли, минимизирующих среднеквадратическую ошибку петли: цель здесь заключалась в том, чтобы сместить порог системы к возможно более низкому отношению сигнал/шум. Позднее мы убедились, что помехоустойчивость всей системы довольно близка к границе помехоустойчивости любой системы, установленной исходя из скорости передачи при заданном искажении. Отличные результаты, полученные этим методом, свидетельствуют о том, что указанная процедура является адекватной (хотя и необязательно оптимальной).

Первое, что вызывает озабоченность в приведенных выше рассуждениях — это несколько неудовлетворительным (во всякомслучае с теоретической точки зрения) является переход от интегрального уравнения к системе ФАПЧ (см. гл. 2). Вторым затруднительным обстоятельством мог бы быть вопрос о критерии качества (помехоустойчивости). Для формулировки задачи и вывода интегральных уравнений мы пользовались критерием максимальной апостериорной вероятности. При построении системы ФАПЧ (СФД) мы наложили условие минимальной среднеквадратической ошибки на ошибку петли, чтобы гарантировать линейность модели. Помехоустойчивость системы мы также оценивали

посредством среднеквадратической ошибки. При работе выше порога вопрос о критерии не возникает, так как оценка по максимуму апостериорной вероятности является эффективной (из чего следует, что она является и оценкой по минимуму среднеквадратической ошибки). Однако остается невыясненным вопрос, можно ли, сформулировав задачу исходя из критерия минимальной среднеквадратической ошибки, улучшить помехоустойчивость системы в области ниже ее порога или сместить пороговую точку в сторону более низкого отношения сигнал/шум.

В этой главе мы рассмотрим два альтернативных подхода к задаче нелинейной оценки. В основе первого подхода лежит использование метода, называемого методом постоянного (инвариантного) включения. При этом подходе, по-прежнему, используется критерий максимальной апостериорной вероятности, однако он обеспечивает более прямой путь к реализуемому демодулятору. В основе второго подхода лежит так называемый метод марковских процессов. При втором подходе используется критерий минимальной среднеквадратической ошибки; этот подход также ведет к реализуемому демодулятору. При обоих подходах используется формулировка задачи в переменных состояния.

Следует указать, что оба упомянутых выше подхода нуждаются в аппроксимациях для получения окончательного ответа. Эти аппроксимации являются линеаризующими аппроксимациями (линейным приближением), и поэтому нет ничего удивительного в том, что мы возвращаемся к той структуре приемника, которая была получена в гл. 2. Однако это нисколько не умаляет ценности указанных альтернативных точек зрения. В более сложных задачах (например, в задаче, относящейся к каналу с замираниями, с которой мы встретимся в гл. 8) различные подходы могут приводить и к различным приближенным решениям. Кроме того, как мы убедимся, эти новые подходы позволяют решать более широкий класс задач. Необходимо также отметить, что в настоящее время точного решения в замкнутой форме общей задачи нелинейной модуляции не существует. Два подхода, которые будут описаны ниже, представляются нам наилучшими для задач нелинейной модуляции. Различные аспекты теории нелинейных оценок рассмотрены в работах [12—33].