4.3. Оптимальные демодуляторы ЧМ при ограничении по полосе частот

Первый вопрос, который возникает, когда мы приступаем к исследованию задачи о ширине спектра, — что понимается под шириной полосы частот, занимаемой ЧМ сигналом? Здесь возможны следующие ответы:

1. Это ширина полосы пропускания идеального фильтра, необходимая для того, чтобы модулированный сигнал пропускался с «пренебрежимо малыми» искажениями.

2. Это разнос по частоте между двумя системами ЧМ, требуемый для того, чтобы взаимные помехи между ними были пренебрежимо малыми.

3. Среднеквадратическое значение ширины полосы, занимаемой энергетическим спектром модулированного сигнала.

Мы ожидаем, что все эти ответы на поставленный вопрос каким-то образом связаны между собой, однако точные количественные значения будут различаться. Для каждой конкретной области применения системы необходимо решить, какое из этих определений ширины спектра является наиболее подходящим. Рассмотрению различных аспектов проблемы ширины спектра посвящено большое число работ, например [5—20, 23, 24]. Для наших целей наиболее удобной мерой является среднеквадратическая ширина энергетического спектра модулированного сигнала.

Первая задача — определить спектр модулированного сигнала. Исторически эта задача решалась исходя из предположения, что модулирующий сигнал или сообщение является синусоидальным колебанием. В этом случае спектр модулированного сигнала можно выразить в виде суммы синусоид (например [24 или 22]). Однако такой подход несовместим с нашей статистической моделью. Когда сообщение является негауссовым случайным процессом, определение его спектра затруднительно ввиду того, что это сопряжено с нелинейной операцией. Но в случае гауссовых случайных процессов, которые могут служить для нас подходящей моделью, вычисление спектра производится чрезвычайно просто.

Мы вычислим энергетический спектр модулированного сигнала, используя метод, изложенный Миддлтоном [5]. Передаваемый сигнал запишем в виде

Корреляционная функция сигнала равна

Слагаемыми удвоенной частоты можно пренебречь, так как в передатчике применяется полосовой фильтр. Нетрудно видеть, что математическое ожидание в первом члене (63) есть просто характеристическая функция гауссова случайного процесса равного

Так как сообщение представляет собой стационарный процесс с нулевым средним, то также является гауссовым случайным процессом с нулевым средним, дисперсия которого не зависит от Обозначим эту дисперсию через Из (64) находим

Заменив переменные в (65), получим

Теперь можно выразить корреляционную функцию через

Энергетический спектр передаваемого сигнала есть преобразование корреляционной функции которое можно записать в виде

где

Далее можно пойти по одному из двух возможных путей. Можно либо точно вычислить для некоторого типичного либо исследовать некоторые обобщенные характеристики спектра не зависящие от конкретной детальной формы Мы сначала используем второй подход, так как он проще и достаточно информативен. В частности, вычислим среднеквадратическую ширину спектра

Величина может служить грубой мерой полосы частот, занимаемой модулированным сигналом. Очевидно, ее можно выразить через корреляционную функцию

Дважды продифференцировав (71) по получим

Используя значение из (71) и выполняя указанные операции дифференцирования, имеем

где средний квадрат отклонения (дисперсия) процесса, описывающего сообщение. Видим, что среднеквадратическая ширина спектра модулированного сигнала есть просто среднеквадратическое отклонение сообщения, умноженное на девиацию частоты и величина ее не зависит от спектра сообщения.

Величина является полезной мерой ширины спектра ввиду ее простоты и инвариантности по отношению к форме спектра сообщения. С другой стороны, как и всякую другую обобщенную характеристику, использовать ее необходимо с осторожностью. При решении любой конкретной задачи на заключительном этапе анализа обычно бывает целесообразным вычисление фактического спектра. Проиллюстрируем это для типичного спектра. Если

то для того, чтобы получить выражение для необходимо выполнить интегрирование в (66):

Таким образом,

Разложив в ряд, получим

Преобразование этого выражения можно записать в виде бесконечного ряда, который затем можно определить численными методами см., например, [5]).

Рис. 4.11. Спектр модулированного сигнала и эквивалентный спектр нижних частот.

С другой стороны, если фиксировать и уменьшать то можно пренебречь членами более высокого порядка в круглых скобках выражения (77). Получающийся в результате спектр

является гауссовым. Графически он изображен на рис. 4.11. Семейства спектров для других значений приведены в [5].

На протяжении большей части нашего изложения мы будем использовать величину в качестве меры ширины двухсторонней полосы нижних частот (в радианах в секунду) модулированного сигнала. И на этот раз подчеркнем, что эта величина является среднеквадратической мерой и использовать ее следует осторожно. При решении любой конкретной задачи одним из этапов заключительной процедуры синтеза должно быть вычисление спектра.

Как было показано в § 4.1, процедура синтеза в случае, когда преобладающим условием является ограничение по полосе частот, очевидна. Мы просто увеличиваем до тех пор, пока ограничение по полосе не будет выполняться со знаком равенства. Если нормировать сообщение так, чтобы

то получающиеся средние квадраты ошибок в случае спектра Баттерворта первого порядка согласно формулам (51) и (53) равны

Аналогичные выражения можно записать для других спектров Баттерворта. Таким образом, помехоустойчивость системы ЧМ при ограничении по ширине полосы частот определяется линиями постоянных значений представленными на рис. 4.3, 4.8 и 4.10.