3.4.2. Оптимальные следящие системы с постоянными параметрами

Рассмотрим теперь второй подход к задаче слежения, который приводит к более практичной системе. Модель описывается выражениями (105) и (106). Мы требуем, чтобы фильтр в петле имел неизменяющиеся во времени параметры, и предполагаем, что справедлива линеаризованная модель рис. 2.18. Поскольку рассматривается фильтр с постоянными параметрами, можно теперь не минизировать в (107) для всех значений

Другой подход заключается в разделении ошибки, обусловленной кратковременным сигналом (скачкообразным изменением частоты) и ошибки, обусловленной действием шума. Такое разделение правомерно ввиду предположения о линейности системы.

Пусть будет выходным колебанием, обусловленным сигналом выходным колебанием, обусловленным шумом. Соответствующие средние квадраты ошибок равны

т. е. математическому ожиданию интеграла от квадрата ошибки переходного режима, и

т. е. среднему квадрату фазы колебания на выходе, обусловленному действием шума. Кроме того, предполагается, что фильтр в петле должен иметь постоянные во времени параметры. Из (106) имеем

или

Обозначив передаточную функцию замкнутой петли через [см. (2.60)], ошибку можно выразить в виде

Шумовая ошибка равна

Теперь можно выбрать так, чтобы сумма квадратов ошибок была минимальной. Вместо этого ограничим величиной и минимизируем при указанном условии. Такой подход позволяет взвесить значимость этих ошибок дифференциально. Используя множитель Лагранжа Я, определяем функцию

Теперь можно было бы минимизировать это выражение непосредственно. С другой стороны, эту задачу можно решить путем простого анализа, не прибегая к выкладкам, если использовать следующее обстоятельство. Рассмотрим задачу винеровской фильтрации

где

Средний квадрат ошибки в этой задаче равен

(см. задачу 3.4.9). Используя (128) и (129) в (131), видим, что, за исключением постоянной величины выражения для тождественны. Следовательно, передаточная функция которая минимизирует функцию есть просто передаточная функция винеровского фильтра для задачи, описываемой (126)-(130). Применив формулу (I— 6.78), получим

Это выражение можно привести к виду

где

есть собственная частота петли (см. задачу 3.2.4). Чтобы определить X, вычислим и использовав метод, который прямо ведет к цели (см. задачу 3.4.10):

Эти соотношения позволяют определить X однозначно. Из (133), (135) и (136) видно, что вместо К можно оперировать непосредственно с Из (136)

Применив (137) в (135), получим

Как и следовало ожидать, ошибка убывает, если интеграл переходной ошибки 1% возрастает.

Передаточная функция фильтра в петле имеет вид

Из этого выражения видно, что петля имеет множитель затухания, равный 0,707. Интересно, что множитель затухания инвариантен по отношению к уровню ограничения. Эта петля второго порядка принадлежит к числу тех, которые часто используются на практике, когда необходим компромисс между ошибкой слежения и шумовой ошибкой. Отметим, что это как раз петля второго порядка, фазовый портрет которой мы рассматривали в § 3.2 (см. рис. 3.7).

Заметим, что при рассмотрении второго метода мы ввели ограничение класса системы, а именно, система должна быть с постоянными во времени параметрами. Поэтому время появления скачка частоты не имеет значения. При рассмотрении первого метода оптимальной системой являлась система с изменяющимися во времени параметрами и знание времени появления скачка частоты было обязательным. Необходимо еще раз подчеркнуть, что в обоих методах предполагается, что справедлива линейная модель системы.

При рассмотрении следующих двух вопросов мы возвращаемся к нелинейной задаче, однако на этот раз при отсутствии шума.