П.5. Однородные интегральные уравнения Фредгольма

Учитывая широкое использование интегральных уравнений Фредгольма в тексте второго тома и систематическое изложение материала в гл. 3 и 4 первого тома, нет нужды доказывать или подробно объяснять их полезность в области теории связи. В этом параграфе рассмотрим вопрос о том, как методы переменных состояния можно использовать для получения решений однородного интегрального уравнения, а в следующем параграфе — для неоднородного уравнения. Здесь интерес представляют два момента: собственно однородные интегральные уравнения и связанная с ними детерминантная функция Фредгольма.

Однородное интегральное уравнение Фредгольма обычно записывают в виде

где предполагается, что ядро является ковариационной функцией векторного случайного процесса генерируемого методами, описанными в § П.1, - собственная функция, соответствующее собственное значение.

Придадим теперь уравнению (121) такую форму, чтобы можно было использовать результаты предыдущего параграфа, Прежде всего, если учесть (6), то (121) можно переписать в виде

Далее видим, что этот интеграл имеет такую же форму, как интегральная операция, определяемая (102), если отождествить собственную функцию с функцией Поэтому введем в рассмотрение следующую систему функций

Считая, что собственные значения отличны от нуля, (122) можно записать как

Теперь заметим, что интегральную операцию (123) можно свести к двум линейным дифференциальным уравнениям с соответствующей системой граничных условий, если использовать результаты предыдущего параграфа. Заменяя в (116) и (117) функцию на определенную формулой (124), получаем следующие дифференциальные уравнения для

Согласно (118) и (119) граничные условия имеют вид

Смысл уравнений (125) — (128) заключается том, что на основании их однородное интегральное уравнение Фредгольма можно преобразовать в систему однородных векторных дифференциальных уравнений с соответствующей системой граничных условий. Собственные значения интегрального уравнения — как раз те значения которые дают нетривиальное решение уравнений (125) и (126), удовлетворяющее требуемым граничным условиям (127) и (128). Собственные функции связаны с этим решением дифференциальных уравнений формулой (124),

Прежде чем продолжать изложение, сделаем несколько замечаний, Отметим, что в последующем нам предстоит решить систему из дифференциальных уравнений. Это не противоречит ранее рассмотренным методам решения уравнения (121) для стационарных ядер с рациональными спектрами, которые обсуждались на стр. 232—233 первого тома. При использовании этих методов необходимо решать дифференциальное уравнение порядка, где степень многочлена в знаменателе спектра.

Полученные выше результаты сводятся к системе дифференциальных уравнений и граничных условий, которые должны удовлетворяться. Однако все еще необходимо рассмотреть вопрос о фактическом отыскании собственных значений и соответствующих собственных функций Потребовав существования нетривиального решения, используем теперь полученные выше результаты для отыскания трансцендентного уравнения для собственных значений.

Определим матрицу размерностью в виде

чтобы в преобразованной векторной форме уравнения (125) и (126) приняли вид

Введем далее в рассмотрение переходную матрицу связанную с определенной выше матрицей . Чтобы подчеркнуть зависимость матриц от к, мы намеренно включили в форму их записи в качестве аргумента.

Выраженное через эту переходную матрицу общее решение уравнения (130) принимает вид

С учетом исходного граничного условия, определяемого матрицей (129), имеем

Разобьем теперь матрицу на субматриц вида

Переписав (132) через указанные субматрицы, получим

где, по определению,

В соответствии с (135 6) окончательное граничное условие, определяемое (128), требует, чтобы

Отсюда вытекает одно из двух следствий. Либо тождественно равны нулю, что приводит к тривиальному нулевому решению, либо

Если справедливо последнее, то можно найти ненулевое которое удовлетворяет условию (136). Отсюда следует нетривиальное решение уравнения (130), удовлетворяющее требуемым граничным условиям. Это решение дифференциальных уравнений, в свою очередь, определяет решение исходного интегрального уравнения, записываемого в

форме (124). Ввиду функциональной равносильности между этими дифференциальными уравнениями и исходным интегральным уравнением, условие (137) является одновременно необходимым и достаточным условием существования собственного значения

Теперь определим в деталях алгоритм для получения собственных значений и собственных функций для однородного интегрального уравнения, основанный на полученных выше результатах. Чтобы найти собственные значения, необходимо найти решения (137). Для этого определим переходную матрицу и вычислим ее при Затем разобьем эту матрицу согласно (133), и образуем матрицу

Введем в рассмотрение функцию

Для отыскания собственных значений будем искать решения уравнения в форме, определяемой (137). Когда имеется аналитическое выражение для можно решить его (т. е. найти его корни) непосредственно. При определении функции численными методами необходимо вычертить график этой функции и определить точки ее перехода через нуль на оси А.

При фактическом построении графика этой функции полезно иметь верхнюю границу наибольшего собственного значения. Удобной границей служит ожидаемое значение энергии процесса, которое можно вычислить путем интегрирования интервале Если ядро стационарно и скалярно, то можно также ограничить максимальным значением соответствующего спектра (см., например, стр. 245 — 246 первого тома). Аналогичная граница существует и в векторном случае.

Чтобы определить собственную функцию для конкретного корня, необходимо решить матричное уравнение, записанное в форме (137), для Взяв соответствующую субматрицу можно сделать это внутри мультипликативного коэффициента. Собственные функции определяются, исходя из этого решения и формул (124) и (134):

где мультипликативный коэффициент для может быть найден нормировкой собственной функции.

Остановимся кратко на случае, когда (137) имеет кратные корни Вообще функция заданная соотношением (138), убывает с ненулевой крутизной. Если имеются кратные собственные значения, то

убывает по касательной, т. е. вблизи собственного значения порядка первые коэффициентов разложения в ряд Тейлора в окрестности точки равны нулю. В общем случае это приводит к линейно-независимым векторам удовлетворяющим граничному условию (136), или имеет ранг

Прежде чем приступить к дальнейшему изложению, укажем неко торые преимущества, которыми обладает этот метод по сравнению с методами, изложенными в гл. 3 первого тома.

1. Коль скоро выбор матриц состояния для моделирования (генерации) процесса произведен, уравнения системы, которые необходимо решить, следуют из них непосредственно. Интегральное уравнение сводится к дифференциальным уравнениям и граничным условиям почти автоматически.

2. Искать решение для каждого собственного значения и собственной функции можно независимо от других; это имеет большое значение при фактическом получении точных решений.

3. Нет необходимости подставлять какие-либо функции сновав исходное интегральное уравнение с целью подбора коэффициентов и определения трансцендентного уравнения, которое определяет собственные значения.

4. Без каких-либо дополнительных затруднений можно решить интегральное уравнение для векторного случая.

5. Определенный класс изменяющихся во времени ядер, например ядер, соответствующих моделям каналов с растягиванием сигнала, можно исследовать численными методами.

6. Наконец, наиболее существенное преимущество заключается в том, что этот метод хорошо подходит к численным методам. Это позволяет легко находить численные решения для задач, когда аналитическое решение либо крайне затруднительно, либо невозможно.

Существуют и другие численные методы решения однородных интегральных уравнений Фредгольма. Сравнение этих методов с рассмотренным выше произведено в работе [6]. Рассмотрим теперь ряд примеров.

Пример 7. В данном примере рассмотрим вопрос об определении собственных значений для процесса из примера 2, определенного на интервале Целесообразно сравнить этот анализ, выполненный методами переменных состояния, с анализом, выполненным при такой же ковариационной функции на стр. 224— 227 первого тома. Тогда сразу станут очевидными многие преимущества метода переменных состояния.

Подставим в (129) представление в переменных состояния, описываемое матрицами состояния (27), чтобы образовать матрицу

Непосредственное обратное преобразование Лапласа приводит к переходной матрице

где

Разобьем эту матрицу в соответствии с (135 б), а затем образуем функцию в виде, определяемом (138). В результате получим

Собственные значения определяются корнями этого уравнения. Для вычисления корней вручную решим уравнение

Нетрудно удостовериться, что это уравнение тождественно (I — 3.89) где определено соответствующим образом. Решив (142) относительно X, получим выражение для собственных значений через

Собственные функции найдем по формуле (139). Они имеют вид

где нормирующий множитель. Этот результат аналогичен формулам (I — 3.91) и (I — 3.92).

Пример 8. Как правило, единственным классом задач, которые можно решить аналитическими методами, являются задачи, связанные с процессами первого порядка. Сила метода переменных соостояния в значительной мере заключена в использовании численных методов. В данном примере мы покажем образец анализа, который можно провести, используя численную реализацию полученных выше результатов.

Рассмотрим задачу определения собственных значений для процесса, введенного в рассмотрение в примере 3, когда задан интервал [0, 2]. Подстановка в (129) представления процесса в переменных состояния,

описываемого матрицами (32), приводит к матрице определяемой формулой

Чтобы определить функцию для данного необходимо найти переходную матрицу для при

Коль скоро эта переходная матрица найдена, используем (135 б) для определения а затем вычисляем определитель этой матрицы Путем варьирования параметром X и повторения этой процедуры можно построить график функции для определения собственных значений — корней уравнения Получающаяся в данном случае кривая показана на рис. П.2.

Этот график типичен для функции При больших значениях функция асимптотически приближается к постоянному значению

При уменьшении X видим, что в области, соответствующей наибольшим значащим собственным значениям (для данного примера приближенно 3), эта функция непериодически осциллирует с умеренным размахом. Однако при приближении к области менее значащих собственных значений размах колебаний становится чрезвычайно большим. В конце концов числа становятся столь большими, что их трудно практически вычислить.

Рис. П.2. График функции

Когда встречается такая ситуация, по-видимому, лучше определять собственные значения, используя асимптотический метод, предложенный Кейпоном [8]. На рис. П.2 местоположения собственных значений, определенные этим методом, показаны стрелками. По мере уменьшения собственных значений согласие между сравниваемыми методами становится довольно хорошим. Следует, однако, указать на значительное различие, которое появляется при попытке распространить асимптотический метод на случай больших собственных значений.

Поскольку метод переменных состояния полезен для вычисления больших собственных значений, его можно сочетать с

асимптототеским методом так, чтобы найти все собственные значения Точно и удобно. Эта задача рассмотрена более подробно в [6].