6.2. Исследование квантователя

Материал этого параграфа подразделяется на две части. В первой части произведен синтез квантователя. Во второй части рассмотрено влияние структуры квантователя и той части системы, которая связана с передачей и детектированием сигналов.

Рис. 6.4. Зависимость от для оптимального квантователя (к принимает только целые значения).

Амплитудная характеристика квантователя была показана на рис. 6.2. Каждый отсчет квантуется на значений, как иллюстрируется на этом рисунке. При анализе квантователя сделаем следующие три предположения.

1. Число выходных уровней равно где целое. Таким образом,

или

2. Концевые точки каждого интервала квантования и выходные величины квантователя выбираются так, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку квантования, которая теперь определяется следующим образом: если положительно и находится в интервале то это значение будет квантовано в виде ошибка квантования равна ; если А отрицательно и принадлежит к интервалу то оно квантуется в виде и ошибка квантования в этом случае равна Средний квадрат ошибки квантования есть просто математическое ожидание квадрата ошибки квантования. Таким образом, средний квадрат ошибки квантования равен

Поскольку считается, что характеристика квантователя симметрична относительно нуля, две суммы в (10) равны и все выражение сводится к виду

Зафиксируем теперь и выберем так, чтобы была минимальной. Минимизация была выполнена численными методами в [4]. Результаты для типичных значений показаны на рис. 6.4 и в табл. 6.1. Легко убедиться, что вероятности нахождения в различных интервалах являются неравными (см. задачу 6.2.1).

3. В п. 2 величина была выбрана с целью минимизации среднеквадратической ошибки. Из результатов гл. 2 первого тома (стр. 73)

Таблица 6.1 (см. скан) Характеристики квантователя [8]

известно, что указанное значение есть условное среднее при условии, что А лежит в интервале Следовательно,

Вероятность в (12) служит для нормировки плотности.

Этим завершается определение (задание) квантователя. Рассмотрим теперь вопрос о влиянии на ошибку методов передачи и детектирования сигналов.

Каждый уровень квантователя отображается в сигнал, который может быть передан по каналу. Приемник осуществляет обработку принимаемого сигнала для получения выходных величин Вероятность того, что выходная величина будет когда входная величина равна обозначается через и зависит от конкретных метода модуляции и канала передачи. Ту часть системы связи, в которой сигнал передается в цифровой форме, можно представить посредством переходных вероятностей, как показано на рис. 6.5.

Средцеквадратическую ощибку оценки (7) можно вычислить как функцию вероятностей квантователя и переходных вероятностей. Если

обозначить через ошибку при передаче уровня х, то средний квадрат ошибки равен

Заметим, что для симметричного квантователя

Рис. 6.5. Диаграмма переходных вероятностей в той части системы связи, где передача осуществляется в цифровой форме.

Следующий шаг процедуры — вычисление среднего квадрата ошибки при условии, что была передана величина Во-первых, замечаем, что если была передана величина то исходный отсчет принадлежал к интервалу при или к интервалу при Во-вторых, видим, что выходной величиной решающего устройства является Ошибка по каждому отсчету есть просто исходный отсчет минус величина Следовательно, условный средний квадрат ошибки равен

Отметим, что если утверждается, что передана величина то это решение правильное и полная ошибка обусловливается квантованием.

Теперь запишем

Подстановка (17) в (16) дает

Ради простоты рассмотрения правая часть (18) разбита на три слагаемых, каждое из которых заключено в круглые скобки и содержит две операции суммирования. Каждый интеграл в первом слагаемом есть просто средний квадрат ошибки квантования в интервале, который мы обозначим через Так как не зависит сумма двух рядов сводится к Интеграл во втором слагаемом равен нулю, поскольку величина была принята за условное среднее [см. (12)]. Интеграл в последнем слагаемом равен единице, так как его подынтегральная функция является плотностью вероятности. Обозначим это слагаемое через (Подстрочный индекс здесь означает, что речь идет об ошибке решения.) Итак,

Теперь можно записать

где

Выражения для — основные результаты этого параграфа.

Можно сделать два полезных замечания:

1. Возможность разделения ошибок объясняется тем, что — условное среднее отсчета для того же интервала квантования [см. (12) и (18)]. Этот результат не зависит от «цифровой» части системы, а это означает, что значения приведенные в табл. 6.1, справедливы для любой системы, где гауссов источник сообщения имеет ограниченный по ширине спектр.

2. Величина стремится к нулю, когда вероятности ошибки в цифровой части системы приближаются к нулю. В этом случае полная ошибка сводится к ошибке квантования.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные цифровые методы модуляции и вычислим для них величину ошибки решения