2.4. Структурные схемы оптимальных демодуляторов

Сначала произведем синтез структуры оптимального демодулятора, а затем оценим его помехоустойчивость. Все рассуждения относятся к частному случаю общей задачи угловой модуляции, которая была сформулирована в § 2.1. Для определенности будем полагать, что:

1. Интервал наблюдения имеет бесконечно большую протяженность во времени (т. е. и ). Это предположение вполне логично, так как в большинстве систем угловой модуляции интервал наблюдения действительно велик.

2. Сообщение является выборочной функцией стационарного процесса с энергетическим спектром

3. Фильтр с переходной функцией имеет постоянные во времени параметры и передаточную функцию

Из этих допущений следует, что фаза стационарный процесс со спектральной плотностью

а

При этих допущениях выражение (19) сводится к

(вспомогательную переменную мы здесь заменили на и). Если теперь ввести обозначение

то (22) примет вид

Этот интеграл — известный интеграл свертки, описывающий линейную систему с импульсной реакцией и входом . С учетом указаных замечаний получим стуктурную схему, представленную на рис. 2.11).

Рис. 2.11. Нереализуемый оптимальный демодулятор.

Очевидно, что рис. 2.11 есть просто частный случай рис. 2.10. На эту связь между системами ФАПЧ и устройствами оценки по максимуму апостериорной вероятности впервые указали Лиган и Паркс [18]. Очевидный недостаток структурной схемы рис. 2.11 состоит в том, что внутри контура (петли) содержится нереализуемый фильтр.

Если петля соответствовала бы линейной системе, то можно было бы предложить следующий выход из положения. Фильтр в петле можно было бы сделать реализуемым, а после петли дополнительно ввести нереализуемый фильтр (см. стр. 585 первого тома). Тогда можно было бы аппроксимировать данную систему сколь угодно точно, допустив задержку в работе той части схемы, которая находится после петли.

В нелинейном случае представляется заманчивым попробовать такой же подход, а затем рассмотреть вытекающие из него следствия. Поэтому рассмотрим демодулятор, показанный на рис. 2.12. Фильтр в петле — реализуемый линейный фильтр с постоянными во времени параметрами, импульсную переходную функцию которого мы определим позднее.

Рис. 2.12. Приближение к оптимальному демодулятору, реализуемое при допущении запаздывания.

Фильтр после петли — нереализуемый линейный фильтр с постоянными во времени параметрами, импульсную переходную функцию которого также определим позже.

Отметим, что сигнал, подаваемый по цепи обратной связи на генератор переменной фазы, не является оценкой Обозначим его через Точно так же нет гарантии, что процесс на выходе фильтра, стоящего после петли, является сообщением поэтому обозначим выход этого фильтра через

Нас прежде всего интересует влияние системы рис. 2.12 на сообщение Для исследования этого влияния необходимо получить математическую модель системы, которая описывает требуемые соотношения между входом и выходом в возможно более простой форме. В рассматриваемой конкретной системе соотношения между входом и выходом можно описать при помощи нелинейного дифференциального уравнения. Чтобы отыскать это дифференциальное уравнение, выведем структурную схему, входами которой являются а выходами Реальные физические устройства из рассмотрения исключаются. Это будет модель полной системы (включая передатчик, канал и демодулятор). Коль скоро модель такого типа получена, можно исследовать влияние на сообщение гораздо проще.

Синтезируем теперь эту модель. Два предварительных замечания позволят упростить выкладки. Прежде всего запишем

Раскрывая квадратные скобки и используя стандартные тригонометрические соотношения, получаем

Теперь предположим, что фильтр с импульсной переходной функцией имеет полосу пропускания, определяемую спектральной плотностью случайной фазы Ширина этой полосы будет гораздо меньше Следовательно, составляющие, которые соответствуют последним двум слагаемым в (27), через фильтр не пройдут и с ними можно не считаться. Поскольку сигнал через фильтр не проходит, можно с полным правом исключить ветвь обратной связи из реальной структурной схемы.

Рис. 2.13. Спектральная плотность низкочастотного шума.

Рассмотрим теперь второе слагаемое в (27). Запишем шум через его квадратурные оставляющие

где — выборочные функции из независимых нормальных процессов, имеющих спектры нижних частот, показанные на рис. 2.13. Здесь предполагается большой но сравнению с шириной полосы модулируемого сигнала, но малой по сравнению с Обозначим второе слагаемое в (27) через Тогда, пренебрегая членами с удвоенной частотой, получаем

Теперь необходимо показать, что для хорошей аппроксимации следует моделировать в виде выборочной функции нормального процесса с нулевым средним, статистически независимого от

Определение n(t)

Прежде всего отметим, что, вообще говоря, на значение величины в момент времени оказывают влияние величины при всех . В практических схемах всегда будет существовать некоторая задержка в петле обратной связи. Одним из источников этого запаздывания является постоянная времени в управляемом генераторе. В большей части нашего анализа мы пренебрегаем этой задержкой, но в данном случае предполагается, что существует бесконечно малая, но отличная от нуля задержка. При таком допущении на оказывает влияние только при и (мы сняли знак равенства). Во-вторых, заметим, что при большой величине процессы являются практически белыми:

Из этих двух замечаний следует, что в любой момент времени случайная величина статистически независима от случайных величин

Рассмотрим теперь значения процесса в произвольные моменты времени Величина К, может принимать любое целочисленное значение и

Обозначим эти случайные величины через вектор

Если можно доказать, что нормальный случайный вектор, то нормальный случайный процесс [27]. Это утверждение обратно свойству 4, сформулированному на стр. 221 первого тома.

Кроме того, необходимо показать, что вектор статистически независим от процесса Для доказательства этой независимости рассмотрим процесс в те же самые моменты времени Обозначим соответствующие случайные величины через вектор

Запишем теперь совместную характеристическую функцию векторов :

Докажем справедливость равенства

и покажем, что характеристическая функция нормального случайного вектора. Заметим, что достаточно использовать один и тот же ряд моментов времени отсчетов для процессов так как и эти моменты времени и число К — произвольны. Используя (29) и (32), имеем

Математическое ожидание есть среднее по -мерной совместной плотности вероятностей величин Запишем эту плотность в следующем виде:

Теперь две случайные величины в первой плотности независимы от обусловливающих их величин. Используя (36) и (37), получаем

Выполнив интегрирование по найдем

Заметим, что отсутствует в правой части (39), так что интеграл по равен единице. С учетом сказанного

Теперь мы имеем -мерную совместную плотность. Повторим эту процедуру для После К повторений получим

Интеграл в (41) есть просто по определению. Итак,

что и требовалось доказать. Следовательно, является нормальным случайным вектором, компоненты которого статистически не зависят друг от друга и от Поэтому можно моделировать как независимый белый шум со спектральной плотностью

Используя (27) и (29), получаем, что выход перемножителя равен

где второе слагаемое — белый шум, независимый от

Таким образом, модель реализуемой аппроксимации можно представить в виде структурной схемы, изображенной на рис. 2.14. Видим, что по отношению к сообщению эта схема ведет себя как нелинейная система с постоянными во времени параметрами, на которую воздействует аддитивный белый шум, независимый от сообщения.

Теперь имеется несколько различных путей исследования. Можно попытаться проанализировать нелинейную систему непосредственно. Преимущество такого подхода заключается в том, что если бы мы смогли

провести такой анализ, то имели бы лучшее представление о том, как работает данная система. Недостатком этого метода является то, что в общем виде анализ затруднителен (если не невозможен).

Второй возможный путь дальнейшего исследования — провести более ограниченный анализ модели, а именно в ее линейной области, и получить некоторое представление об условиях, при которых система начинает вести себя как нелинейная. Мы сначала пойдем по второму пути, а в гл. 3 вернемся к рассмотрению нелинейной задачи.

Рис. 2.14. Модель системы передачи сообщений при угловой модуляции.

На данном этапе изложения нам необходимо получить два результата:

1. Показать, что средиеквадратическое значение ошибки

удовлетворяет нижней границе, выведенной в гл. 5 первого тома, со знаком равенства при отношении сигнал/шум выше некоторого значения.

2. Найти приближенное выражение для той области, где справедлив линейный анализ.

Нелинейное поведение нашей модели обусловливается синусоидальным сигналом. Можно записать

Теперь, если бы значение было малым, то

Если бы были детерминированными функциями, то основываясь на знании их относительных амплитуд и частот, а также характеристик фильтров и коэффициентов передачи в петле обратной связи, можно было бы высказать некоторые позитивные суждения об условиях, необходимых для того, чтобы гарантировать справедливость приближения (47). Однако и случайные дроцессы и поэтому любое утверждение можно сделать только в вероятностном смысле. Поскольку случайная функция, мы первоначально используем как меру справедливости аппроксимации. Итак, если

то предполагается, что система работает в линейной области. Оставив а в качестве параметра при большинстве наших вычислений, мы тем самым сохраним некоторую степень свободы. Позднее будет выяснено, что для справедливости линеаризованного анализа необходимо, чтобы значения а? были в интервале 0,2-0,3.

Рис. 2.15. Линеаризованная модель системы.

Теперь исходная нелинейная модель сведена к линейной модели, структурная схема которой показана на рис. 2.15. Далее нам необходимо рассмотреть вопросы синтеза фильтров и результирующей помехоустойчивости системы.