8.3.3. Синтез приемника и анализ его помехоустойчивости для каналов с медленными замираниями в квазистационарном приближении

Оптимальный приемник, синтез которого был произведен ранее, осуществляет совместное оценивание а Точность этих оценок зависит от мощности сигнала, плотности шума параметра и спектров процессов Во многих случаях спектр колебания бывает значительно более узким, чем спектр сообщения и среднеквадратическая ошибка оценивания параметров канала мала. Когда это условие соблюдается, задачи синтеза оптимального приемника и анализа его помехоустойчивости сильно упрощаются. В этом параграфе мы исследуем этот частный случай и обоснуем соответствующие упрощения. В заключение сравним помехоустойчивость приемника при указанных условиях с границами, выведенными в предыдущих параграфах. Чтобы проиллюстрировать используемые методы, рассмотрим два примера.

Пример 2. Этот пример из области фазовой модуляции несущей. Он является обобщением рассмотренной в гл. 3 проблемы синхронизации на случай, когда сигнал синхронизации проходит по релеевскому каналу.

Принимаемый сигнал записывается в виде

Фазовая модуляция описывается выборочной функцией винеровского процесса

Прежде всего упростим структурную схему приемника, изображенную на рис. 8.4. Предположение о том, что ошибка измерения параметров канала мала, означает, что в (70) имеют малое значение. Это, если основываться на эвристических соображениях, позволяет пренебречь недиагональными членами матрицы Сначала заметим, что

При рассмотрении рис. 8.4 можно заключить, что

Следовательно, в пределе при

вторым слагаемым в обеих парах в больших круглых скобках в выражении (109) можно пренебречь.

Надо не только показать, что можно пренебречь членами в приемнике, но и необходимо убедиться, что они не влияют на решение для в (70). Производя почленное перемножение в (70) и учитывая (78), (107) и (109), можно эвристически обосновать, что этой связью можно пренебречь. Таким образом, (70) сводится к единственному скалярному уравнению

Для получения (111) мы также пренебрегли членами с удвоенной частотой в и вкладом, обусловленным шумом Так как предполагается, что ошибка измерения параметров канала мала, то полагаем

Выражение в квадратных скобках в (111) есть ни что иное, как квадрат оцениваемой огибающей

(заметим, что (114) определяет Тогда

Теперь предположим, что изменяется достаточно медленно, так, что можно пренебречь ее производной Если это условие выполняется, то

Получающийся в конечном итоге приемник показан на рис. 8.5. Заметим, что устройство оценки параметров канала содержит две такие же структурные ветви (тракты обработки), как и структурная схема рис. 8.4 (нижние тракты). Хотя для построения устройства оценки сообщения предполагалось, что стремятся к нулю, для построения устройства оценки параметров канала их действительные значения необходимо удержать. С другой стороны, на практике мы бы пренебрегли при построении демодулятора.

Нетрудно видеть, что по своей структурной схеме этот приемник представляет собой адаптивный вариант приемника канала синхронизации, структурная схема которого была приведена на рис. 3.1. Заметим, что при коэффициент передачи стремится к бесконечности. Практически на пределы изменения (динамический

диапазон) обычно устанавливают ограничения. Например, потребовать, чтобы

Для определения среднеквадратической ошибки оценивания сообщения необходимо усреднить с соответствующей плотностью вероятности.

Рис. 8.5. Приемник для каналов с медленно изменяющимися параметрами.

Если предположить, что ошибка оценки параметров канала мала, то можно допустить, что является релеевской величиной Тогда плотность вероятности величины описывается законом

где

В результате

Отметим, что для получения результата в примере 1 были сделаны три предположения: 1) ошибка измерения параметров канала мала; 2) членами, учитывающими взаимную связь параметров, можно

пренебречь; 3) справедливо квазистацйонарйое решение дисперсионного уравнения.

Если указанные предположения справедливы, то можно найти приближенное выражение для помехоустойчивости приемника. Следует заметить, что нет нужды проделывать весь этот вывод для каждой новой задачи угловой модуляции. Из рассмотрения (104), (111), (114), (115) и рис. 8.5 следует, что мы решаем задачу угловой модуляции из гл. 5 (см. рис. 5.3) при

Мы синтезируем приемник, считая известной постоянной величиной. Далее вычисляем помехоустойчивость приемника, полагая заданной и равной этому значению. Ошибку в этом случае называют условной стационарной ошибкой

Все результаты, полученные в гл. 3, 4 и 5, непосредственно применимы для вычисления Безусловная ошибка получается усреднением с плотностью :

где определяется (118).

В примере 2 ошибку мы использовали как предсказываемую, исходя из линеаризованной модели, для вычисления (121). Опишем коротко более эффективную процедуру аппроксимации

Дисперсию можно записать непосредственно через спектр вариации параметра канала, используя формулу Сначала заметим, что

Используя (122) и (118), получаем

При анализе помехоустойчивости системы важно помнить, что средняя принимаемая мощность равна

Выражение (121) дает среднеквадратическую ошибку реализуемой оценки. Аналогичный анализ можно провести и для нереализуемой среднеквадратической ошибки. В результате получим

где условная нереализуемая ошибка, вычисленная, как в гл. 5, при Подставляя (5.6) в (122), получаем

что и является искомым результатом.

Квазистационарный анализ исходит из линеаризованной модели среднеквадратической ошибки в петле. Трудность в связи с этим предположением заключается в том, что независимо от среднего отношения сигнал/шум на приеме всегда могут быть периоды времени, когда имеется глубокое замирание и мощность принимаемого сигнала практически равна нулю. В течение этих периодов петля ведет себя нелинейно и ввиду этого линёйный анализ теряет силу. Ранее в качестве критерия линейности режима мы использовали среднеквадратическую фазовую ошибку петли. Весьма приближенно замирания можно учесть, вычислив по формуле (5.3):

Далее мы выберем уровень ограничения и докажем, что если

то линейный анализ справедлив. Если же

то петля разомкнута.

Среднеквадратическая ошибка оценки сообщения, когда петля находится в разомкнутом состоянии, зависит от характеристик УГ и других конкретных особенностей фактической реализации системы. Обозначим эту среднеквадратическую ошибку через

Для отыскания полной среднеквадратической ошибки сперва подставим (127) в (128) и разрешим его для того значения V, обозначаемого через V, при котором

Затем запишем

Подставив (131) в (125) и проинтегрировав, получим

Аналогичный результат можно получить и для реализуемой среднеквадратической ошибки. Точность формулы (132) зависит от выбора о и Для ориентировки при выборе значений и необходимо располагать некоторыми экспериментальными данными или результатами моделирования на ЭВМ.

Формулы (124) и (132) являются главными результатами выполненного выше квазистационарного анализа. В разбираемом ниже примере мы произведем квазистационарный анализ для типичной системы угловой модуляции.

Пример 3. В этом примере рассмотрим систему частотной модуляции, в которой сообщение имеет однополюсный спектр

Принимаемое колебание записывается в виде

Канальные процессы имеют идеальный ограниченный по ширине спектр

Сначала вычислим нереализуемую среднеквадратическую ошибку оценки сообщения. Согласно (4.80)

Средний квадрат ошибки при оценивании определяется в соответствии с (122) и (135) в виде

Введем теперь в рассмотрение величину

являющуюся отношением сигнал/шум в полосе канала, и величину

являющуюся средним отношением сигнал/шум в полосе сообщения. Учитывая (137)-(139) в (136), после упрощения получаем

Далее нам необходимо вычислить Согласно формуле (4.54)

Подстановка (141) в (130) дает искомое значение

Чтобы пользоваться формулой (132), необходимо знать значение а. Поскольку дисперсия сообщения равна единице, требуется, чтобы

достигалось даже под порогом.

Теперь мы располагаем всеми данными, необходимыми для численного определения (132). Результаты вычислений показаны на рис. 8.6 для и различных значений По горизонтальной оси откладывается величина

соответствующая эффективному отношению сигнал/шум в полосе сообщения.

Рис. 8.6. Нереализуемая среднеквадратическая ошибка оценки сообщения в канале с замираниями (анализ в квази-стационарном приближении).

Целесообразно еще раз остановиться на ограничениях (условиях), которые имелись в виду при рассмотрении примера 3.

1. Изменения параметров канала должны происходить

достаточно медленно, чтобы был справедлив анализ в квазистационарном приближении.

2. Измерение параметров канала осуществляется точно.

3. Задача повторного вхождения в синхронизм (повторного захвата) после глубокого замирания не рассматривается.

4. Полученные результаты не подтверждены экспериментально.

Ввиду указанных ограничений среднеквадратические ошибки, предсказываемые исходя из квазистационарного приближения, могут быть недостижимыми на практике. Поэтому кривыми рис. 8.6 не следует пользоваться для оценки помехоустойчивости конкретной системы, не имея экспериментального подтверждения.

Этим примером завершается рассмотрение помехоустойчивости приемника. В следующем параграфе мы подытожим основные результаты этой глявы.