7.1.2. Реализуемая точечная оценка по максимуму апостериорной вероятности и метод постоянного включения

Рассмотрим частный случай задачи оценки по максимуму апостериорной вероятности, когда момент времени в который желательно получить оценку, соответствует концевой точке интервала наблюдения и увеличивается (т. е. объем получаемой информации возрастает). Необходимо найти как функцию Это не что иное, как задача реализуемой нелинейной оценки. Первый шаг на пути ее решения — это модификация (26)-(29) с учетом того, что концевая точка интервала наблюдения перемещается. Выполним эти преобразования методом так называемого «инвариантного включения». Он разработан Белманом (см., например, [4] или [5]) и впервые применен к решению этой задачи Дечменди и Сридхаром в

Запишем сначала задачу с граничными значениями в двух точках, задаваемую системой (26)-(29), в более компактной форме:

где

Граничные условия остаются без изменения:

Одна из процедур, которую можно использовать для того, чтобы учесть перемещение концевой точки, иллюстрируется рис. 7.1. (Здесь ради простоты обозначены как скаляры.) Предположим, что решения для найдены (рис. 7.1, а). Теперь будем наблюдать колебание на интервале приращения тем, чтобы определить и как показано на

рис. 7.1, б. На основании (33) и (34) можно определить, каким образом траектории а продолжаются на интервале приращения Таким образом,

Эти два значения иллюстрируются рис. 7.1, б. Достаточно взглянуть на значение чтобы сразу усмотреть всю трудность этого подхода. Помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям (33) и (34) оно должно удовлетворять граничному условию

Рис. 7.1. Траектории а — траектории, заканчивающиеся в момент времени б - предложенные траектории.

Поскольку правая сторона (39) почти всегда отлична от нуля, ясно, что условия (37) и (41) не могут удовлетворяться одновременно. Именно граничное условие (41) для на конце интервала наблюдения вынуждает прибегнуть к более сложной процедуре.

Поэтому, чтобы использовать данный метод, необходимо вернуться к и наложить ненулевое граничное условие на Но коль скоро вступает в силу ненулевое граничное условие, решения в момент времени уже не являются Ввиду этого необходимо ввести в рассмотрение две новые функции: которые удовлетворяют уравнениям (33) и (34). Эти уравнения теперь принимают вид

при граничных условиях

Такая система записи используется здесь для того, чтобы подчеркнуть зависимость решения как от так и от нового граничного условия Заметим, что эти уравнения сводятся к (33) и (34) в частном случае Таким образом, мы включили нашу исходную задачу в более общую задачу. В конечном итоге мы будем интересоваться только

случаем, когда однако метод включения обеспечивает нам возможность получения требуемого результата. Заметим, что

и

Удобно также ввести в рассмотрение функцию определяемую соотношением

Полезно также заметить, что

Предположим, что интересующие нас траектории имеют вид, показанный на рис. 7.2. Траектории для двух рассматриваемых моментов времени связаны между собой уравнениями (42) и (43), из которых можно получить следующее соотношение для первой траектории (рис. 7.2, а):

Рис. 7.2. Траектории для обобщенной задачи

Если обозначить

то (50) сведется к

Аналогичное соотношение для второй траектории можно записать двумя разными способами. По исходному определению

Объединив (53) и (54), получим уравнение

которое связывает . Заметим, что мы получили его путем исследования поведения приращений траекторий.

Теперь является функцией двух переменных (одна из переменных — векторная величина). Следовательно, можно также представить в виде степенного ряда в окрестностях точек

или, в эквивалентной форме,

Из (50)

Если подставить (58) в (57), приравнять (55) и (57) и пренебречь членами второго и более высокого порядка, то получим

Это и есть требуемый результат — уравнение в частных производных, решение которого, вычисленное при является реализуемой оценкой Оно называется уравнением инвариантного включения, так как мы берем нашу исходную задачу и включаем ее в более общую задачу (произвольное

Единственное затруднение заключается в том, что, как правило, уравнение в частных производных (59) решить невозможно. Однако, поскольку нас интересует только решение для попробуем искать решение в форме разложения в ряд по степеням Коэффициент каждого члена степенного ряда будет соответствовать обыкновенному дифференциальному уравнению. Таким образом, если бы мы удержали все члены ряда, то имели бы бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Так как исходная задача соответствовала случаю рассмотрим решение, которое получается, если пренебречь уравнениями, соответствующими степенями от второй и выше.

Выполним теперь намеченную процедуру. Пусть

Замечая, что

и обозначая слагаемое, заключенное в фигурные скобки, через имеем

Далее необходимо разложить в ряд функции, входящие в (59), в окрестности [эти функции были определены формулами (36) и (35)]:

отметим, что мы сократили форму записи аргументов

Учитывая (11) и разлагая ее в ряд в окрестности получаем

Подставляя (62), (63) и (64) в (59), имеем

Собрав члены порядков получим

Начальные условия найдем, положив в (45) и

Эти четыре уравнения определяют приближенное решение задачи реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности. (Отметим, что это приближенное решение получилось в результате того, что мы использовали разложение в степенной ряд по Другие процедуры решения могут привести к иным приближенным решениям.) Заметим также, что в форме (68) сходна с выражениями для среднеквадратических ошибок, с которыми мы встречались при рассмотрении линейной задачи. Позднее мы покажем, что является приближенной условной наименьшей среднеквадратической ошибкой [условие налагается на так как содержится в члене, находящемся в фигурных скобках в уравнении (68).

Сделаем теперь краткие замечания по простому случаю, когда модуляция является линейной. При линейной модуляции важное значение имеют следующие два замечания. Во-первых, нетрудно заметить, что так как

член, стоящий в фигурных скобках в уравнении (68), сводится к

Используя (71) и (72) в (67) и (68), получаем

Видим, что эти уравнения есть ни что иное, как уравнения Кальмана—Бьюси, выведенные в гл. 6 первого тома. Заметим, что в линейном случае есть среднеквадратическая ошибка, а (74) не связано с (73). Во-вторых, можно заметить, что в случае линейной модуляции в (66) отсутствуют члены порядка Поэтому наше решение уравнения инвариантного включения является точным.

Для нас наибольший интерес представляет случай нелинейной модуляции, поэтому мы хотим исследовать поведение (67)-(70) применительно к этой задаче. Однако прежде мы исследуем другой подход к этой задаче и покажем, что он также приводит к выражениям (67)- (70).