8. ПЕРЕДАЧА АНАЛОГОВЫХ (НЕПРЕРЫВНЫХ) СООБЩЕНИЙ ПО КАНАЛАМ СО СЛУЧАЙНО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ

Эта глава посвящена проблеме передачи аналогового (непрерывного) сообщения по каналу со случайно изменяющимися параметрами. В § 8.1 разработана модель и рассмотрены некоторые возможные подходы к решению этой проблемы. В § 8.2 синтезирован оптимальный приемник для системы угловой модуляции, применительно к релеевскому каналу. В § 8.3 выведены некоторые границы помехоустойчивости и разработаны процедуры приближенного анализа для приемника, синтезированного в § 8.2 . В § 8.4 подведены основные итоги главы и рассмотрены некоторые родственные вопросы.

Проблема, обсуждаемая в данной главе, соответствует третьему уровню в той иерархии проблем теории модуляции, которая была введена в гл. 1 первого тома. Хотя самая общая из проблем этой иерархии здесь не рассматривается, изложенные методы можно распространить и на решение для общего случая.

8.1. Модель и возможные подходы к решению задачи

8.1.1. Модель

Все построения в основном тексте данной главы относятся к безынерционному («без памяти») релеевскому каналу, с которым мы встречались ранее в п. 4.4.2 первого тома. Предполагается, что передаваемый сигнал — модулированное по фазовому углу синусоидальное колебание. Например, в простой системе ЧМ передаваемый сигнал записывается в виде

Сообщение является выборочной функцией гауссова случайного процесса с нулевым средним. На выходе релеевского канала сигнал принимает форму

где огибающая имеет релеевское распределение, а фаза равномерное. Заметим, что являются выборочными функциями случайных процессов. Аддитивный белый шум выборочная функция белого гауссова процесса со спектральной плотностью Процесс замираний (федингования) в канале и аддитивный шум статистически независимы. С равным успехом первое слагаемое в правой части (2) можно записать через квадратурные составляющие

где выборочные функции статистически независимых гауссовых случайных процессов с нулевыми средними и одинаковыми статистиками. Видим, что при данной конкретной выборочной функции (реализации) случайного процесса принимаемое колебание является выборочной функцией гауссова процесса.

В приемнике колебание наблюдается на интервале и обрабатывается с целью получить оценку сообщения В данной главе произведены синтез оптимального приемника и анализ его помехоустойчивости.

Прежде чем начать изложение основного вопроса, рассмотрим несколько обобщений описанной выше модели. Основную модель канала можно легко распространить на другие физические ситуации. Например, если

а не нулю, то получается модель райсовского канала. Эта модель соответствует физическому каналу, в котором помимо замирающей составляющей имеется регулярная составляющая принимаемого сигнала.

Во многих случаях принимаемый сигнал обусловлен составляющими из нескольких релеевских каналов, имеющих различные протяженности трасс (длины путей). Тогда

Здесь временная задержка (запаздывание) в канале. Это разрешимая релеевская многолучевая задача. Она часто встречается при связи с использованием отражения и рассеяния радиоволн в ионосфере и в гидроакустических системах связи и локации, где используется механизм распространения звука под водой. Канал, который будет рассмотрен более подробно в третьем томе, получается в результате

предположений о том, что используется непрерывное бесконечное множество отражателей при различных длинах путей. Тогда сумма (5) обращается в интеграл

Интервал соответствует протяженности (в секундах) отражающей поверхности.

Остальная часть главы посвящена исследованию проблемы передачи непрерывного сообщения по одному релеевскому каналу. Распространение этой теории на многолучевую модель — задача несложная. Более трудная задача — распространить ее на канал, описываемый, уравнением (6), но и эту задачу можно решить.

Прежде чем изложить вопросы синтеза оптимального приемника и оценки его помехоустойчивости, рассмотрим некоторые возможные подходы к решению этой проблемы.

8.1.2. Возможные подходы к проблеме

Опираясь на основы теории нелинейных оценок, изложенные в первых главах этой книги, мы располагаем несколькими различными методами, позволяющими решить задачу оценки в условиях случайного канала. В этом параграфе мы рассмотрим связь между различными подходами к решению этой задачи. Главная цель здесь уяснить вопросы, связанные с совместной оценкой нескольких процессов. Некоторые возможные подходы к задаче оценки систематизированы на рис. 8.1.

Методы, указанные в левой части рисунка, основываются на том, что сообщение является выборочной функцией гауссова случайного процесса, а принимаемое колебание — выборочной функцией условно гауссова процесса. Исходным моментом всех этих методов служит интервальная оценка по максимуму апостериорной вероятности. Новым вопросом, с которым мы сталкиваемся при исследовании модели случайного канала, является то, что сообщение является единственным случайным процессом, представляющим для нас действительный интерес; канальные процессы в модели присутствуют, но являются нежелательными. После вывода уравнения интервальной оценки по максимуму апостериорной вероятности можно далее использовать метод инвариантного включения, изложенный в п. 7.1.2, для отыскания системы уравнений, определяющей приближенную реализуемую оценку по максимуму апостериорной вероятности. С другой стороны, если бы можно было показать, что для класса задач, которые представляют для нас интерес, совместное оценивание сообщения и процессов в канале по максимуму апостериорной вероятности эквивалентно оцениванию по максимуму апостериорной вероятности сообщения, то мы

использовали бы векторное уравнение максимальной апостериорной вероятности, которое было выведено в гл. 5 первого тома, и на основании (I — 5.160) имели

Здесь вектор, учитывающий все случайные процессы, относящиеся к рассматриваемой задаче. Например, для одиночного релеевского канала

В п. 7.1.2. были выведены уравнения приближенной реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности. Ясно, что если (7) справедливо для рассматриваемой задачи, то уравнения реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности также справедливы.

Рис. 8.1. (см. скан) Возможные подходы к задаче оценки непрерывного сигнала.

Мы убедимся, что для изучаемых в данной главе систем связи (методов модуляции) и каналов можно показать эквивалентность совместного оценивания по максимуму апостериорной вероятности сообщения

и параметра канала и оценивания по максимуму апостериорной вероятности только сообщения и, следовательно, как (7), так и последующие уравнения реализуемой оценки являются справедливыми.

Методы, указанные в правой части рис. 8.1, основаны на предположении, что сообщение и принимаемые колебания являются условными математическими ожиданиями марковских процессов. Это предположение справедливо, когда сообщение является выборочной функцией гауссова случайного процесса с рациональным спектром, процесс модуляции представляет собой непрерывную нелинейную безынерционную операцию, а аддитивный шум является выборочной функцией белого гауссова случайного процесса. (Другие случаи также соответствуют исходным допущениям, однако нас сейчас интересует именно этот случай.)

Как и в § 7.2, начнем с уравнения в частных производных для плотности апостериорной вероятности (7.89). Из него мы получим точное уравнение для условного среднего (7.91). Напомним, что это уравнение не годится для практической реализации. Для оценивания по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки нет необходимости проводить различие между сообщением и канальными (или нежелательными) процессами. Чтобы получить систему, которую можно реализовать, аппроксимируем (7.91), предположив, что среднеквадратические ошибки оценивания малы. Полученные в итоге уравнения (7.99) и (7.100) тождественны уравнениям приближенной реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности. При другом из указанных в правой части методов используется точное уравнение условной моды. Этот подход требует разрешения вопроса о совместном оценивании по максимуму апостериорной вероятности и поэтому является менее желательным.

В итоге, как мы убедимся, различные подходы приводят к одной и той же приближенной реализации, так что выбор соответствующего метода довольно произволен. С точки зрения рассматриваемой задачи наибольший интерес представляет вопрос о том, где целесообразно делать необходимые приближения. Если мы хотим построить более сложные приемники путем удержания членов высоких порядков, то эта эквивалентность может более и не сохраняться.

Мы будем придерживаться второго из рассмотренных выше подходов, а именно: 1) выведем уравнение интервальной оценки по максимуму апостериорной вероятности; 2) покажем ее эквивалентность совместной оценке по максимуму апостериорной вероятности; 3) используем уравнение приближенной реализуемой оценки по максимуму апостериорной вероятности для отыскания (синтеза) соответствующего приемника. В заключение исследуем помехоустойчивость полученного приемника. Но прежде чем начать изложение перечисленных вопросов, сделаем краткое отступление и рассмотрим простой пример совместного оценивания. Цель данного примера — способствовать более ясному пониманию вопроса совместной оценки.

Пример. Рассмотрим простой пример для того, чтобы получить некоторое интуитивное представление о результатах, которые можно ожидать при решении задачи оценивания параметров сигнала.

Ценность этого примера в том, что в нем предполагается тот результат, который нам необходимо попытаться вывести при решении реальной задачи. Допустим, что

где статистически независимые гауссовы случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями соответственно. Заметим, что здесь мы имеем дело со случайными величинами, а не процессами. Нам необходимо найти оценку параметра а по максимуму апостериорной вероятности. Параметр не представляет какого-либо прямого интереса. Цель данного рассмотрения — исследовать условия, при которых совместная оценка а и приведет к правильной оценке а.

Сначала дадим обзор двух альтернативных процедур оценки. Чтобы получить совместную оценку параметров вычислим и найдем точку на плоскости где эта функция имеет максимальное значение. Координаты этой точки запишем в виде где подстрочный индекс означает, что эти оценки совместные. Для получения оценки параметра а, когда параметр рассматривается как нежелательный, вычислим путем интегрирования по В:

Далее отыщем точку на оси А, в которой функция принимает максимальное значение. Эта точка соответствует атар. При помощи простого иллюстративного графика можно убедиться, что в общем случае

Этот пример как раз и демонстрирует существование этой точки и, кроме того, указывает достаточное условие равенства двух упомянутых оценок.

Подставив соответствующие плотности в (10а), получим

где

Множитель в (11) является нормирующим и определяется из условия, чтобы площадь под кривой распределения равнялась единице. Интегрируя по В, имеем

Теперь имеется возможность сравнить две рассмотренные процедуры оценки.

Независимая оценка. Как отмечено выше, ашар (Ю есть такое значение параметра А, при котором функция имеет максимум. Рассматривая (15), нетрудно заметить, что это условие соответствует точке, где

принимает максимальное значение.

Совместная оценка. Для отыскания необходимо найти точку, в которой имеет максимум. Согласно (11)

где — значение параметра А, при котором функция максимальна.

Итак, мы убедились, что в общем случае не эквивалентна оценке, полученной путем совместного оценивания Достаточное условие этой эквивалентности состоит в том, чтобы не зависело от параметра А.

Цель данного примера заключалась в том, чтобы проиллюстрировать в простом контексте вопрос совместного оценивания. Он дает нам представление об условиях, которые необходимо искать в задаче оценки параметров сигнала.

В этом параграфе были рассмотрены модели интересующей нас проблемы и различные подходы к синтезу оптимального приемника. В следующем параграфе задача синтеза оптимального приемника будет выполнена подробно, в результате чего мы получим его развернутую структурную схему.