ПРИЛОЖЕНИЕ. Процедуры анализа в переменных состояния

Введение

В Приложении излагаются некоторые процедуры анализа в переменных состояния, которые полезны при решении задач, рассматриваемых в томах I, II и III. Этот материал дополняет содержание основного текста в различных главах всех трех томов. Для чтения Приложения необходимо знать лишь исходные сведения в объеме введения в аппарат переменных состояния, изложенного на стр. 589 — 612 первого тома.

В § П.1 дан обзор и указаны основные моменты теории представления случайных процессов посредством переменных состояния, изложенной в § 6.3 первого тома. В § П.2 и П.З рассмотрена взаимосвязь между формами задания (представления) случайных процессов в переменных состояния и посредством ковариационной функции. В § П.2 показано, как получить ковариационную функцию процесса из его описания в переменных состояния, а в § П.3 рассмотрена обратная задача. Следующие три параграфа посвящены методам решения интегральных уравнений. В § П.4 изложена процедура вывода дифференциальных уравнений, соответствующих ковариационному оператору. В § П. 5 и П. 6 изложена процедура решения однородных и неоднородных уравнений Фредгольма. В § П.7 подытожены основные результаты и указаны некоторые примыкающие вопросы.

Я попросил проф. Артура Б. Баггерера написать данное Приложение ввиду того, что результаты § П.5 и П.6 первоначально были получены в его докторской диссертации [1]. Поскольку эти результаты значительны, но пока широко неизвестны, мне представлялось, что будет целесообразнее, если в этой книге он изложит их сам. В приложении сохранены стиль и система обозначений, принятая в основном тексте монографии.

Гарри Л. Ван Трис

П.1. Представление случайных процессов в переменных состояния

В § 6.3 первого тома было введено понятие о задании случайного процесса в виде системы с переменным состоянием, которую можно использовать для генерации (моделирования) процесса. Такое представление процесса используется в различных прикладных задачах при изложении материала томов I, II и III. Начнем изложение материала Приложения с краткого повторения основных моментов процедуры моделирования процесса, описанной в § 6.3 первого тома.

Линейное представление случайного процесса в переменных состояния определяется пятью матрицами и заданным начальным моментом времени. Первые три матрицы описывают динамическую систему, выход которой как раз и является интересующим нас процессом, тогда как остальные две матрицы описывают ковариационную функцию белого возбуждающего процесса и ковариационную функцию начального состояния. Ради простоты предполагается, что процессы имеют нулевые средние. Как следствие, имеем следующее описание динамической системы:

линейное уравнение состояния

уравнение наблюдения

где вектор состояния с размерностью ; — белый позбуждающий процесс размерностью ; наблюдаемый процесс с размерностью . Матрицы и описывающие динамику системы, имеют размерности соответственно. Входной процесс имеет ковариационную функцию вида

а вектор начального состояния является случайной величиной с ковариационной матрицей

Эти уравнения тождественны уравнениям (I — 6.235) и (I — 6.236); подходящей моделью процесса генерации сообщения является система, изображенная на рис. Заметим, что введенная в §6.3 первого тома общая модель для процесса охватывает и нестационарные векторные случайные процессы. Тем не менее класс стационарных процессов составляет важный частный случай общей модели.

Многие результаты теории случайных процессов можно выразить через ковариационную матрицу (матрицу ковариационных функций)

В следующих двух параграфах опишем процедуры отыскания ковариационной функции случайного процесса по его представлению в переменных состояния и наоборот.