П.3. Разложение ковариационных функций на множители (факторизация)

В § П.2 предполагалось, что имеется описание случайного процесса в переменных состояния, и была изложена процедура для определения ковариационой функции (матрицы) этого процесса. В этом параграфе предположим, что известна ковариационная функция процесса, и, исходя из нее, изложим процедуру описания этого процесса в переменных состояния. Интересующую нас задачу можно сформулировать весьма просто. Ковариационная функция векторного процесса считается заданной на интервале Для задания этого процесса, используя описание в переменных состояния (1) — (4), необходимо найти матрицы Эта задача называется задачей разложения ковариационной функции на множители (или задача факторизации ковариационной функции).

Факторизация ковариационной функции или ее аналог в частотной области — спектральная факторизация — значительно более трудная задача, чем синтез ковариационной функции или спектра. Два вопроса встают при рассмотрении задачи факторизации. Первый связан с мотивировкой того, почему вообще необходимо исследование этой задачи, а второй — с выбором наиболее эффективной процедуры для осуществления факторизации.

В пользу исследования алгоритмов факторизации говорят два соображения, вытекающие из того, что во многих задачах информации о генерации процесса не имеется, а вместо этого известны измеренные характеристики выходного процесса: ковариационная функция или спектр. Независимо от каких-либо соображений по обнаружению или оценке бывает желательно найти модель для описания динамики генерации процесса, так как она может дать нам более глубокое понимание физики, лежащей в основе задачи. В контексте обнаружения и оценок, как мы уже убедились, многие из синтезированных приемников содержат устройства оценки параметров процессов. Во многих, если не в большинстве, задачах реализация соответствующих алгоритмов оценки требует знания модели генерации; аналогичная информация нужна при расчете помехоустойчивости системы.

Имеющиеся методы решения можно разделить на процедуры во временной области и процедуры в частотной области. Для скалярных процессов с рациональными спектрами простейшее решение заключается в выполнении спектральной факторизации и последующем использовании одной из канонических реализаций для представления получающихся передаточных функций, описанных в п. 6.3.1 первого тома. Основная процедура этого решения довольно проста. Наиболее трудной стороной реализации является разложение полинома на множители с корнями в правой и левой полуплоскостях. Для стационарных векторных процессов с рациональными элементами в спектральной

матрице желательность разложения на множители в частотной области не столь очевидна, так как реализация имеющихся алгоритмов затруднительна, если не невозможна (см., например, [121).

В этом параграфе нас интересуют методы факторизации во временной области при использовании методов переменных состояния. Мы вводим в рассмотрение эти методы по нескольким причинам. Если вопрос связан с принципиально изменяющейся во времени ситуацией (например, процессы, связанные с периодической модуляцией, или отраженные сигналы радио- или гидролокационных станций, имеющие изменяющиеся во времени огибающие), то эти методы являются единственными, позволяющими учесть в структуре алгоритма нестационарный характер этих процессов. Если речь идет о работе со стационарными процессами при использовании экспериментально измеренных данных, то особенно пригодными становятся численные методы. Если понять смысл и значение этих методов, то применение факторизации во временной области дает ряд вычислительных преимуществ, особенно при работе с векторными процессами. Наконец, некоторые аспекты построения алгоритма во временной области позволяют углубить наше понимание фундаментальной структуры случайных процессов. При изложении этого вопроса мы придерживаемся подхода, развитого в [21.

Для процесса, моделируемого методами переменных состояния, из (18) следует, что соответствующая ковариационная функция имеет форму

где переходная матрица, связанная с и удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению при начальном условии Учитывая свойство переходных матриц, определяемое выражением (I — 6.255а), приходим к выводу, что ковариационная функция процесса, генерируемого системой, представленной посредством переменных состояния, должна иметь сепарабельную (разложимую) форму

где

произвольная переменная времени, содержащаяся в области определения процесса. (Обычно ради удобства ее просто полагают равной Заметим, что размерности и связаны с размерностями выходного процесса и вектора состояния. Даже если является скалярным процессом, то и будут векторами, если не может быть описано скалярным уравнением состояния. Поэтому первым шагом в задаче факторизации становится отыскание -мерных

матриц и по заданным ковариационным функциям. Вторым шагом является разработка алгоритма отыскания

В некоторых частных случаях, особенно в тех, которые соответствуют системам первого порядка, отыскание множителей и не встречает каких-либо трудностей. Однако, как правило, так не бывает, особенно когда неизвестно число измерений вектора состояния. Хотя нет оснований для того, чтобы не задаваться системами с излишним числом состояний, такие системы часто приводят к большим трудностям, особенно когда приходится учитывать возможности управления и наблюдения. Чтобы построенный нами алгоритм был эффективным, необходимо иметь как можно меньше с тем, чтобы ковариационная функция была учтена в системе при минимальном числе элементов в ее векторе состояния. Когда и имеют минимальную возможную размерность, такое разложение называется факторизацией с минимальной степенью. К счастью, существует весьма простая процедура для определения разложения минимальной степени. При изложении этой процедуры мы будем руководствоваться работой [3].

Когда условие минимальности не наложено, произвести разложение нетрудно. Поэтому наш подход заключается в отыскании возможного неминимального разложения на матрицы и и в последующей разработке конструктивной процедуры для сведения его к разложению на множители минимальной степени.

Этап 1. Неминимальная факторизация. Каждый элемент ковариационной матрицы должен иметь форму

где члены ряда линейно-независимы и члены ряда линейно-независимы, если процесс имеет конечномерное представление в переменных состояния. Например, если

то

Пусть вектор-столбцы являются векторами, элементы которых образуют системы линейно-независимых функций в (39а), т. е.

Каждый элемент ковариационной матрицы (39а) можно теперь записать как

где матрица размерностью Используя представление, возможное разложение на множители, необязательно минимальной степени, получим в виде матриц размерностью

В этом можно убедиться подставив (42 а) и (42 б) в (37) и сравнив результаты с (39). Отметим, что когда является скалярным процессом, линейная независимость гарантирует, что есть минимальная размерность вектора состояния процесса.

Этап 2. Сведение к разложению на множители минимальной степени. Как правило, разложение (42 а) и (42 б) не является разложением минимальной степени, т. е. могут сществовать матрицы и удовлетворяющие (37), с числом измерений таким что, размерность

матриц и больше, чем . В этом параграфе мы сначала введем критерий, который достаточен для проверки того, является ли разложение минимальным. Если оно не минимально, то мы определим алгоритм, позволяющий свести неминимальное разложение к минимальному. Этот алгоритм также можно использовать, чтобы показать необходимость критерия для проверки на минимальную степень.

Прежде чем приступить к изложению этого вопроса, следует сделать замечание по поводу временного интервала . В последующем при определении интервала предполагается, что это интервал, на котором требуется произвести разложение.

Рассмотрим теперь достаточный критерий для проверки того, что являются множителями минимальной степени. Пусть и будут матрицами размерностью Очевидно, что если есть минимальная степень. Образуем матрицы

являющиеся неотрицательно определенными симметричными матрицами размерностью

Достаточный критерий минимальности заключается в том, чтобы обе матрицы были положительно определенными, т. е. ранг обеих матриц был равен размерности матрицы Чтобы убедиться в этом, рассмотрим

где и множители минимального ранга. Ранг произведений матриц в правой части (44) не превосходит Если и положительно определены, то ранг произведения равен откуда следует, что из чего, в свою очередь, следует, что поскольку пп по определению как минимальной степени.

Рассмотрим теперь алгоритм, который позволяет свести разложение неминимальной степени к разложению минимальной Степени. Этот алгоритм является также конструктивным доказательством необходимости положительной определенности матриц Поскольку симметричны, положительно полуопределенны, они должны быть согласованы через невырожденные преобразования соответственно с матрицами — условными математическими ожиданиями

Нетрудно показать, что

Это можно доказать путем почленного разложения и использования (45 а) и (45 б). В результате имеем

Для ковариационной функции найдем, что

Поскольку имеют полный ранг, целесообразно сосредоточить наше внимание на матрице имеющей размерность Для получения разложения минимального ранга определим ранг этой матрицы и произведем матрицы размерностью такие что

Алгоритмы для получения такого разложения можно найти в [11].

Для получения множителя минимальной степени введем в рассмотрение матрицы

Легко показать, что множители (48 б) и (48 в) удовлетворяют рассмотренному критерию положительной определенности.

Для проверки необходимости указанного критерия заметим, что и не будут иметь полного ранга если и не будут положительно определенными матрицами Поэтому ранг матрицы будет ниже , чем и демонстрируется существование множителей с более низкой степенью. С точки зрения реализации процедуры разложения на множители заметим, что коль скоро возможные неминимальные множители — определены, все остальное определяется путем алгоритмической манипуляции матрицами. Эти задачи, будучи весьма утомительными при аналитическом их решении, идеально подходят для численных методов решения.

Рассмотрим теперь некоторые примеры для иллюстрации соответствующих методов разложения

Пример 4. Для винеровского процесса разложение ковариационной функции осуществляется просто. Согласно (25)

Следовательно,

Пример 5. Также просто производится разложение ковариационной функции процесса Баттерворта первого порядка, приведенного в примере 2. В этом случае

Пример 6. Разложение ковариационной функции в примере 3 нетривиально, но все же довольно просто. Ради удобства предположим, что интервалом разложения является интервал где k - целое. Тогда

Представляя (52) в форме разложения, при имеем

В результате отождествления с (41) и (42) получим

Поскольку элементы матриц и как в этом легко убедиться, линейно-независимы, то (54 а) и (54 б) определяют минимальную реализацию. Чтобы проверить это, положим в (43 а) и (43 б):

Так как обе эти матрицы имеют полный ранг, равный 2, то (54 а, б) гарантирует, что полученное разложение минимально.

Теперь, располагая алгоритмической процедурой для разложения ковариационной матрицы на множители, необходимо на основании и определить матрицы состояния.

Обозначим матрицы динамической системы в виде трех матриц а ковариационные функции — в виде двух матриц Координатная система вектора состояния не является единственной, и из этого следует, что указанные матрицы заведомо не единственны при заданных условиях по входу и выходу системы. Действительно, за исключением своей размерности, матрица по существу не задана [5]. Для изложения материала в наших интересах

удобно сначала рассмотреть реализации с триплетом матриц а затем — вопрос, о преобразованиях к координатным системам, которые могут обладать некоторыми желательными свойствами. Подробная процедура состоит из трех этапов.

1. Ограничиваем класс рассматриваемых систем только системами с триплетом матриц и устанавливаем некоторые свойства связанные с дифференцируемостью процесса которые необходимы на этапе 2.

2. Выводим дифференциальное уравнение для через производные матриц и Решение этого дифференциального уравнения является наиболее важным этапом при реализации разложения. После этого решение задачи разложения на множители и можно выразить через и производные матриц В результате получаем описание случайного процесса в переменных состояния.

3. Поскольку матрицы решения, определенные на этапе 2, могут иметь некоторые нежелательные свойства, рассматриваем преобразования системы координат вектора состояния, чтобы получить другие описания случайного процесса в переменных состояния.

Этап 1. Переходная матрица, связанная с является единичной матрицей. Поэтому согласно (35) и (37) имеем

или

Заметим, что (57 б) не определяет однозначно, так как матрица имеет размерность а матрица размерность Используя (7), легко показать справедливость следующих двух свойств:

Далее мы рассмотрим свойства производных На протяжении первого этапа предполагается, что все элементы одного порядка дифференцируемости. Известно, что ковариационная функция производной случайного вектора у определяется выражением

или

Если рассматриваемый процесс дифференцируем в среднеквадратическом, то коэффициент при -функции должен равняться нулю. Если коэффициент при -функции отличец от нуля, то производная процесса содержит компоненту белого шума. Этот факт будет использован на этапе 2.

Используя (59) и замечая, что можно не теряя общности, считать положительно определенной, приходим к заключению, что для дифференцируемого в среднеквадратическом процесса

Для дифференцируемого процесса разложение [согласно имеет: вид

Из этого следует, что реализацией для производной процесса была бы функция

Наша стратегия заключается в повторении этой процедуры дифференцирования до тех пор, пока не будет достигнута -производная процесса высшего порядка, которая еще существует в среднеквадратическом смысле. Необходимость этой процедуры объясняется тем, что разложение процесса и всех его производных до включительно понадобится нам в алгоритме этапа 2. Все наши рассуждения можно повторить для процесса с дифференцируемостыо порядка, применив их к новому триплету матриц и формулам (63). В общем случае для интервала имеем

Производная порядка имеет реализацию и разложения Для и соответственно.

Уравнения (63а), (636), (64) и (65) содержат важные результаты, связывающие дифференцируемость процесса с производными множителей , которые нам необходимы при выкладках на этапе 2. К сожалению, в некоторых случаях компоненты процесса будут иметь различные порядки дифференцир уемости. Поэтому необходимо быть внимательным с тем, чтобы исключить из рассмотрения компоненты низкого порядка, прежде чем приступить к компонентам высокого порядка. Мы изложим систему записи, учитывающую это обстоятельство, в процессе выкладок по этапу 2.

Этап 2. Теперь приступим к изложению алгоритма для определения матриц состояния Сперва располагаем компоненты в порядке, обратном их дифференцируемости, т. е. первые компонент имеют производные только нулевого порядка, вторые компонент имеют производные только первого порядка и т. д. Предполагается также, что столбцы матриц и соответственно переставлены местами и что матрица -мерная единичная матрица.

Далее разбиваем матрицы и в соответствии с порядками дифференцируемости

Можно было бы как-то упростить систему записи, ограничившись рассмотрением только процессов, у которых все компоненты имеют одинаковый порядок дифференцируемости. Поскольку общий случай не связан с какими-либо дополнительными понятиями и представлениями, целесообразно его рассмотреть.

Рис. П.1. Структурная схема реализации процесса в соответствии с дифференцируемостью его компонентов.

Некоторые читатели сочтут необходимым предположить, что все элементы дифференцируемы только до второго порядка включительно и записать последующие уравнения для этого случая до формулы (78) включительно. Посредством этого разбиения можно непосредственно записать реализации, показанные на рис. Отметим, что связи между элементами здесь нет, так как

Каждая компонента имеет реализацию которая -кратно, (а не -кратно) дифференцируема в среднеквадратическом смысле. Согласно (58) дифференциальное уравнение для ковариационной функции процесса записывается в виде

Если к соответствующим компонентам применить также (65), то из указанных условий дифференцируемости следует, что

Прежде чем продолжать анализ, необходимо произвести разбиение и в виде

Теперь, как очевидно из (57), необходимо отождествить т. е.

Ввиду этого можно свободно взаимно заменить матрицы и в последующих уравнениях. Таким образом, получаем

Продифференцировав (71 6), получим

Если , то

а если то с учетом (68)

После -кратного дифференцирования

Произведем почленное умножение (74 а) на поставив впереди, и используем результат перестановки В итоге получим матричное уравнение размерности

где определена система матриц Предположим, что матрица положительно определена. Из этого и из условий дифференцируемости следует, что также положительно определенная

матрица; поэтому она имеет положительно определенный квадратный корень. Матрицу размерностью можно выразить в виде

Теперь подставим транспонированную матрицу — результат транспонирования (76) в (74 а), в итоге получим

или

Формула (776) выражает разложение через и однако остается неизвестной. Определим дифференциальное уравнение для подставив (77) в (67). Подставив эти выражения вместо получим

Это дифференциальное уравнение типа Рикатти. Попытка показать существование вполне определенного решения может привести к некоторым довольно трудным вопросам теории систем. (Подробнее по этому вопросу см. [2].) Для наших целей достаточно потребовать, чтобы начальное условие описывалось неотрицательно определенной симметричной матрицей, чтобы и и их производные были конечными и непрерывными и чтобы ковариационная функция определялась соотношением (37) и при

была положительно определенной матрицей. Для определения на- чальных условий заметим, что (74 б) можно выразить в виде системы матричных уравнений размерностью

Нам необходимо вычислить эти уравнения для момента времени и решить относительно требуя, чтобы решение было неотрицательно определенным. В этом контексте все уравнения можно объединить в -мерную систему и использовать методы псевдообращенных матриц для определения [13].

Уравнение (78) при заданных начальных условиях моделирует искомое решение для Оно, в свою очередь, определяет через (77 б), определяется непосредственно при помощи Мы исключаем возможность того, что дифференцируемость компонентов системы изменяется по переменной Если же это все-таки имеет место, то метод кусочного решения, является по-видимому, единственным практически возможным методом.

Теперь мы располагаем процедурой описания процесса в переменных состояния и можем обратиться к вопросам преобразований координатных систем для рассматриваемых реализаций.

Этап 3. Предположим, что реализация с заданным триплетом матриц и парой ковариационных функций ( получена. Для многих ситуаций бывает желательным иметь в распоряжении реализацию с постоянными параметрами. Поэтому целесообразно кратко обсудить, при каких условиях это возможно.

Введем в рассмотрение матрицу определяющую линейное взаимно однозначное дифференцируемое преобразование вектора состояния т. е.

Матрицы состояния для преобразованного вектора состояния имеют вид:

В общем случае, когда рассмотренная процедура применяется для определения реализации вида мы приходим в результате к реализации системы, параметры которой изменяются во времени. Необходимо определить условия, при которых можно осуществить

такое преобразование, чтобы все матрицы состояния были постоянными; другими словами, надо найти условия, когда матрицы постоянны, а исходными матрицами являются

Из (81 а) при и имеем

где матрица, подлежащая определению. Общее решение этого уравнения имеет вид

При после подстановки (83) в (816) и дифференцировании найдем, что для получения постоянной реализации необходимо, чтобы матрица удовлетворяла уравнению

где в явном виде определена матрица Аналогичным образом найдём

Следовательно, для существования реализации системы с постоянными (не зависящими от времени) параметрами необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица удовлетворяющая уравнениям (84) и (85). Тогда мы имеем реализацию через преобразование общего реше Триплет матриц реализации принимает вид

Хотя уравнения (84) и (85) образуют необходимый и достаточный критерий существования реализации с постоянными параметрами, этим критерием довольно трудно пользоваться. Другие необходимые условия можно вывести из (84) и (85) или из ранее полученных результатов. Некоторые из них сформулированы ниже.

На основании (84) и (85) легко показать, что для существования реализации системы с постоянными параметрами необходимо, чтобы

Поскольку произведение и можно связать с производными множителей и используя (68) и (75), то можно применить непосредственный критерий, выраженный через исходные множцтели. Например, если имеет по крайней мере производную первого порядка, то из (62) и (64) следует, что

является необходимым условием существования реализации системы с постоянными параметрами. Из (68) и (75) следуют и другие уравнения. (Заметим, что если не все элементы имеют одинаковый порядок дифференцируемости, то необходимо использовать факторизацию.) Все эти критерии являются необходимыми и не ясно, какая именно их комбинация, если вообще существует какая-либо, дает достаточный критерий.

Этим завершается общее рассмотрение процедуры отыскания матриц состояния. Рассмотрим теперь некоторые примеры для иллюстрации этой процедуры.

Пример 4 (продолжение). Уравнения (50) дают функциональное разложение ковариационной функции винеровского процесса. Этот процесс является выходным процессом первого порядка и не дифференцируем. В результате их подстановки в (78) получим

Начальное условие получается из (71) в виде

С учетом (87а) и (87б)

Поэтому из (70) и (77) имеем

т. е. реализация имеет вид ( при ковариационных функциях Эта реализация нам хорошо знакома.

Пример 5 (продолжение). Для процесса первого порядка, рассмотренного в примере 5, подстановка разложения, выполненного в соответствии с (51), в (78) и (71) дает

Решением уравнения (77) является

Его подстановкой в (77) и (70) получим

Нетрудно заметить, что

Следовательно, если применить преобразование

то получим реализацию и

Пример 6 (продолжение). Здесь мы рассмотрим нетривиальный пример. Так как развернутое изложение связано с большим объемом алгебраических выкладок, ограничимся лишь наброском схемы решения.

Процесс, рассмотренный в примере 3, имеет дифференцируемость второго порядка. Поэтому равны 0 и 1 соответственно и

В результате дифференцирования получим

Непосредственная подстановка в (75) дает

Дифференциальное уравнение для следует из (78) в виде

Начальные условия получим из (74)

откуда следует

Теперь для отыскания можно решить (произвести интегрирование) (97) при указанных выше начальных услолиях численными методами или попытаться найти решение методом проб и ошибок или каких-либо других преобразований над Матрица определяется посредством следует из (77) в виде

В этом параграфе было показано, что спектральное разложение на множители, зависящие от времени, вполне возможно. Однако, как правило, даже для некоторых простых стационарных примеров приходится прибегать к численным методам ввиду принципиальной связи рассматриваемого алгоритма с изменяющимися во времени параметрами системы. Во многих случаях заведомо проще использовать спектральные методы и заниматься далее решением алгебраических уравнений, а не дифференциальных уравнений. В этом контексте есть смысл еще раз подчеркнуть значение наших рассуждений в начале этого параграфа.