§ 3. Силы, имеющие потенциал

Если система находится в потенциальном поле, и следовательно, силы действующие на точки системы, имеют силовую функцию то сумма элементарных работ сил на всяком перемещении системы будет являться полным дифференциалом функции зависящей от координат точек системы. В этом случае

где — проекции сил на координатные оси. Отсюда следует, что

и, следовательно, выражение для обобщенной силы будет иметь вид:

Потенциальная энергия системы определяется как работа, которую должны совершить силы поля, чтобы перевести систему из рассматриваемого положения в нулевое положение которое, вообще говоря, может быть выбрано произвольно. Следовательно,

Меняя порядок суммирования и интегрирования и вводя силовую функцию получаем

После интегрирования будем иметь

т. е. потенциальная энергия с точностью до аддитивной постоянной равна силовой функции взятой с обратным знаком:

Запишем теперь принцип виртуальных перемещений с помощью потенциальной энергии V. Имеем

или на основании (2.8)

т. е. первая вариация потенциальной энергии V должна равна нулю, а это есть условие ее стационарности.

Таким образом, необходимое и достаточное условие равновесия системы совпадает с условием стационарности функции V.

Вопрос об устойчивости равновесия будет рассмотрен позже (§ 6, гл. X).