§ 8. Принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса)

Принцип наименьшего принуждения Гаусса относится к вариационным принципам механики. Он приложим как к голономным, так и к неголономным системам.

Гаусс сформулировал этот принцип следующим образом: «Движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если была бы свободной».

Рассмотрим этот принцип более детально.

Пусть на механическую систему наложены удерживающие идеальные связи, как голономные, так и неголономные. Обозначим положение точки, принадлежащей рассматриваемой системе, в момент времени

через массу ее — через а скорость и ускорение — соответственно через

Рассмотрим следующие движения этой точки за элементарный промежуток времени: 1) движение по инерции, 2) свободное движение и 3) действительное движение.

Рис. 6

Если бы точка, начиная с момента двигалась по инерции со скоростью то за время она переместилась бы по прямой, пройдя отрезок пути

Рассмотрим теперь свободное движение этой точки, считая, что в момент она освободилась от связей и движется с той же начальной скоростью которую она имела в момент времени находясь под действием одной лишь активной силы Перемещение точки за элементарный промежуток времени выразится вектором который с точностью до бесконечно

малых третьего порядка относительно будет равен

В действительном же движении точка не является свободной и находится под действием как активной силы так и реакции связей и ее действительное перемещение за время (с точностью до бесконечно малых третьего порядка) выразится вектором :

Таким образом, отклонение точки при ее действительном движении от свободного движения выразится вектором :

Рассмотрим теперь некоторое кинематически возможное движение системы, при котором положение точки и ее скорость в каждый данный момент времени будут такими же, как и в действительном движении, а ускорения будут отличаться от истинных ускорений . Пусть при этом вектор представляет собой перемещение точки за время, . Отклонение от свободного движения для рассматриваемого возможного движения будет выражаться вектором который можно представить как сумму векторов и

В качестве меры отклонения точки от ее свободного движения Гаусс принял величину, равную произведению массы точки на квадрат отклонения, и назвал ее принуждением.

Вводя для удобства коэффициент пропорциональности напишем принуждение для точки в ее действительном движении:

Принуждением для точки в ее кинематически возможном движении будет величина

Для системы принуждением будет сумма принуждений отдельных ее точек. Следовательно, для системы, состоящей из точек, принуждением в ее действительном движении будет величина:

а принуждением этой системы в ее возможном движении — величина

Согласно принципу Гаусса, принуждение системы в ее действительном движении будет всегда меньше, нем принуждение системы в ее кинематически возможном движении:

или

Поэтому принцип Гаусса называют также принципом наименьшего принуждения.

Если воспользоваться формулой (2.20) для отклонения то принуждение для системы можно представить в такой форме:

Из условия минимума принуждения следует, что его первая вариация равна нулю: . Поскольку в выражении варьированию подлежат лишь ускорения принцип наименьшего принуждения Гаусса может быть представлен в следующей форме:

Такая вариация, когда варьированию подлежат лишь ускорения, при неизменных координатах и скоростях, называется гауссовой вариацией.

Покажем теперь, что принцип Гаусса может быть выведен с помощью общего уравнения динамики. Из соотношения (2.21) следует, что

Умножив все члены этого равенства на и просуммировав по всем точкам системы, получим

Последняя сумма в правой части этого равенства равна нулю. Действительно, вектор есть разность между возможным перемещением и действительным перемещением , следовательно, равен вектору виртуального перемещения :

Пользуясь, далее, формулой (2.20) для находим

Выражение, стоящее в правой части, на основании общей формулы динамики (2.13) равно нулю и, следовательно, равенство (2.26) может быть представлено в следующем виде:

Так как сумма, стоящая в правой части этого равенства, всегда положительна, то , что и доказывает справедливость принципа Гаусса.

Таким образом, мы доказали принцип Гаусса с помощью общего уравнения динамики.

Поскольку здесь принцип Гаусса получен с помощью принципа Даламбера-Лагранжа, который приложим лишь к голономным и неголономным системам с линейными относительно скоростей связями, может показаться, что и принцип Гаусса приложим лишь к указанным системам.

В действительности же область приложения принципа Гаусса шире, нежели область приложения принципа Даламбера—Лагранжа. Принцип Гаусса приложим к голономным и неголономным системам, связи в которых могут быть и нелинейными относительно скоростей.

Уравнения движения могут быть получены из принципа Гаусса, и при этом нет необходимости требовать, чтобы дифференциальные связи были линейными относительно скоростей.