§ 3. Движение системы по инерции (спонтанные движения)

Большой интерес представляют несвободные движения системы по инерции, т. е. такие движения, когда на систему не действуют внешние активные силы. Такие движения называют иногда спонтанными, в отличие от движений по инерции в собственном смысле, когда на точки системы не действуют ни активные, ни пассивные силы.

Объяснение тому, что движение при отсутствии внешних активных сил называют движением по инерции, следует искать в том, что при несвободном движении точки по гладкой поверхности она движется по геодезической линии поверхности с постоянной по величине скоростью, как и в случае свободного движения точки по инерции.

Пусть система, на которую не действуют активные силы, подчинена голономным идеальным и стационарным связям. Для такой системы потенциальная энергия V сохраняет постоянное значение, и так как в рассматриваемом случае имеет место закон сохранения механической энергии то, согласно принципу стационарного действия в форме Якоби, интеграл

будет иметь стационарное значение и

Выразим элемент дуги по формуле

В случае голономных систем, подчиненных стационарным связям, декартовы координаты суть функции только обобщенных координат (система имеет k степеней свободы):

где — число точек системы. Следовательно,

и

Здесь — функция, зависящая от обобщенных координат .

Подставляя найденное значение в формулу (4.18) и вводя для сокращения обозначение

где есть функция только обобщенных координат получаем следующее выражение для принципа стационарного действия в форме Якоби:

Полученному выражению можно дать простую геометрическую интерпретацию, если рассмотреть -мерное (по числу степеней свободы) пространство положение точки в котором определяется заданием чисел: . В таком пространстве каждому положению системы будет соответствовать изображающая точка которая при движении системы опишет некоторую кривую.

Если элемент дуги в пространстве определить с помощью соотношения

(этим определяется метрика пространства то принцип стационарного действия в форме Якоби можно записать в следующем виде:

а это есть уравнение геодезической линии, проходящей через и в пространстве

Следовательно, принцип стационарного действия для голономных систем, подчиненных стационарным связям и движущимся по инерции, может быть сформулирован следующим образом: голономная система со стационарными связями движется по инерции так, что изображающая эту систему точка М в пространстве движется по геодезической линии этого пространства.

К задаче о геодезической линии можно также придти и в случае движения системы в консервативном поле, если только соответствующим образом метризовать пространство конфигураций Для этого в качестве линейного элемента следует принять величину:

В этом случае принцип стационарного действия в форме Якоби приводит к условию:

а это есть уравнение геодезической линии в пространстве Римана, метрика которого определяется линейным элементом действия (4.20).