§ 6. Теорема Якоби о нахождении полной системы независимых интегралов уравнений движения

Якоби доказал теорему о нахождении полной системы независимых интегралов уравнений движения, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби.

Теорема Якоби гласит: если функция

есть полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби

то система уравнений, полученная путем дифференцирования по и приравнивания новым постоянным

в соединении с системой уравнений

составляют полную систему независимых интегралов уравнений движения, представленных в форме канонической системы уравнений Гамильтона:

Таким образом, теорема Якоби устанавливает связь между интегрированием уравнения в частных производных первого порядка (7.25) и интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.28).

Чтобы доказать теорему Якоби, необходимо показать, что переменные определенные из системы уравнений (7.26) и (7.27) в виде функций времени и произвольных постоянных и

будут тождественно удовлетворять уравнениям (7.28).

Однако это можно доказать и не решая системы уравнений (7.26) и (7.27) относительно если показать, что переменные и определенные из систем уравнений (7.26), (7.27) и (7.28), удовлетворяют одной и той же системе линейных уравнений.

Переходя к доказательству, заметим, что если функция

есть интеграл уравнения (7.25), то будучи подставлена в уравнение, она обращает его в тождество, т. е.

Следовательно, производные, полученные в результате дифференцирования уравнения (7.25) по любым переменным или по постоянным должны обращаться в нуль, если вместо функции подставить значение полного интеграла

Дифференцируя уравнение (7.25) по одной из постоянных, например, по и замечая, что эта постоянная, кроме самой функции

входит еще в производные

получаем

Таких уравнений будет, очевидно, по числу постоянных , входящих в функцию

С другой стороны, если взять полную производную по времени от одного из уравнений системы (7.26), например, уравнения

и вспомнить, что время входит в функцию как явно, так и неявно через обобщенные координаты получим

Сравнивая полученные выражения (7.29) и (7.30), видим, что производные являются корнями одной и той же линейной системы уравнений. Следовательно, если определитель этой системы не равен нулю, то должно выполняться равенство

Для того, чтобы установить, будет ли отличен от нуля определитель А, рассмотрим коэффициенты линейных уравнений (7.29) или (7.30), которые имеют вид

Следовательно, определитель этой системы можно представить как функциональный определитель:

Если определитель обращается в нуль, то между производными должно существовать соотношение, не зависящее от постоянных вида

Но тогда будет служить решением не только уравнения (7.25), но и уравнения (7.32), в котором отсутствует производная , а это невозможно, так как функция

лишь тогда является полным интегралом уравнения (7.25), когда для исключения постоянных , а используются все уравнений

полученных из (7.33) путем дифференцирования по всем аргументам и .

Таким образом, определитель действительно не может обратиться в нуль, и, следовательно, заключение относительно равенства (7.31) остается справедливым.

Приведенное доказательство принадлежит Якоби. Чтобы получить вторую группу уравнений (7.28)

обратимся к уравнениям (7.27).

Продифференцировав какое-либо из этих уравнений, например, , получим

С другой стороны, если взять частную производную по от уравнения (7.25), то будем иметь:

Отсюда из совокупности уравнений (7.34) и (7.35) находим

что на основании равенства (7.31) дает

Теорема Якоби, таким образом, доказана полностью.