§ 5. Скобки Пуассона

Пусть суть некоторые функции, зависящие от переменных, определяющих состояние механической системы, а именно, от обобщенных координат обобщенных импульсов и времени

Скобками Пуассона для функций называется выражение вида

Из определения скобок Пуассона вытекают следующие их свойства:

1) свойство антикоммутативности

2) если функции совпадают, то скобки Пуассона обращаются в нуль:

3) если одна из функций равна постоянной, то скобки Пуассона обращаются в нуль:

где а — постоянная;

4) свойство распределительности

5) частная производная по времени (или по какому-либо другому параметру) от скобок Пуассона равна

Если рассматривать три функции то можно составить и двойные скобки Пуассона. Например, если скобку Пуассона обозначить через то, составляя скобку Пуассона получим двойную скобку Пуассона . Аналогично можно составить и другие двойные скобки Пуассона. Имеет место следующее замечательное равенство, которое выполняется тождественно (тождество Якоби-Пуассона):

В справедливости тождества Якоби — Пуассона можно убедиться непосредственно путем дифференцирования. Однако, как указал Гурса, нет нужды проводить все вычисления до конца. Действительно, каждый член левой части равенства (6.28) представляет произведение производной второго порядка на две производные первого порядка. Поэтому для доказательства справедливости тождества Якоби — Пуассона достаточно показать, что левая часть (6.28) не содержит вторых производных от функций

Для доказательства воспользуемся одним положением из теории линейных дифференциальных операторов. Рассмотрим два линейных дифференциальных оператора:

где — некоторые функции переменных .

Имеем

Аналогично

Составляя теперь разность , получаем

т. е. снова получаем линейный оператор, не содержащий вторых производных.

Пользуясь полученным результатом, можно доказать тождество Якоби — Пуассона. Покажем, что левая часть (6.28) не содержит вторых производных от функции .

Вторые производные от функции получаются из скобок Пуассона

что можно представить так:

Скобки Пуассона можно рассматривать как некоторый линейный дифференциальный оператор, действующий на одну из функций или Тогда выражение (6.30) с помощью этих операторов можно представить следующим образом.

Рассмотрим два линейных оператора:

Равенство (6.30) тогда можно представить так:

Это выражение на основании (6.29) не содержит вторых производных от функции Аналогичным способом можно показать, что левая часть равенства (6.28) не содержит вторых производных от функций Таким образом, тождество Якоби—Пуассона доказано.

Рассмотрим теперь связь между скобками Пуассона и уравнениями движения. Для этого составим скобки Пуассона от функции Гамильтона и некоторой функции Имеем

Если теперь воспользоваться уравнениями Гамильтона

то

Но так как

то окончательно получаем

Если функция является интегралом уравнений движения, то и, следовательно, , а это на основании (6.31) приводит к соотношению

Таким образом, для того чтобы функция была интегралом канонической системы уравнений Гамильтона, необходимо чтобы выполнялось условие (6.32).

Если же интеграл уравнений движения не зависит явным образом от времени , следовательно, соответствующее условие принимает вид

С помощью скобок Пуассона можно находить интегралы канонической системы уравнений Гамильтона. Имеет место следующая теорема Пуассона: если функции являются интегралами канонической системы, то и их скобки Пуассона также будут интегралом.

Для того чтобы показать, что функция также будет интегралом канонической системы, воспользуемся тождеством Якоби — Пуассона, составленным для трех функций: Имеем:

Так как являются интегралами канонической системы, то имеют место следующие равенства:

С помощью этих соотношений равенство (6.34) можно представить в следующей форме:

Пользуясь свойствами скобок Пуассона, находим

или

и, окончательно,

а это означает, что функция является интегралом канонической системы уравнений Гамильтона.

Таким образом, зная два независимых интеграла канонической системы, можно найти третий интеграл. Однако таким путем не всегда удается получить новый интеграл, не зависящий от первых двух.

Будем говорить, что функции от переменных находятся в инволюции, если их скобки Пуассона тождественно равны нулю, т. е. Пусть известна система независимых интегралов канонической системы уравнений Гамильтона такая, что каждая пара интегралов находится в инволюции, т. е.

Такая система интегралов называется инволюционной системой интегралов или якобиевой системой. Легко видеть, что из якобиевой системы интегралов нового независимого интеграла с помощью теоремы Пуассона получить нельзя.

Пример 1. Показать, что для каждой пары координат (аналогично для каждой пары импульсов) скобки Пуассона обращаются в нуль:

а

где — символ Кронекера:

Указание. Воспользоваться определением скобок Пуассона.

Пример 2. Показать, что если — компоненты момента количества движения материальной точки, то имеют место следующие соотношения:

Для доказательства воспользуемся известными соотношениями

Скобка Пуассона как в этом нетрудно убедиться, сведется к двум слагаемым:

Аналогично доказываются остальные два соотношения.

Пример 3. Показать, что если функция Гамильтона Н не зависит явным образом от времени а функция является интегралом уравнений движения, то новые интегралы тех же уравнений движения можно получить, положив

Если функция Гамильтона Н не зависит явным образом от времени то является интег

ралом уравнений движения. На основании теоремы Пуассона есть также интеграл. Но так как функция есть интеграл канонической системы уравнений Гамильтона, то на основании (6.32) имеем

Следовательно,

также есть интеграл канонической системы уравнений Гамильтона.

Аналогично доказывается, что

тоже будет интегралом.