Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Скобки ПуассонаПусть
Скобками Пуассона для функций
Из определения скобок Пуассона вытекают следующие их свойства: 1) свойство антикоммутативности
2) если функции совпадают, то скобки Пуассона обращаются в нуль:
3) если одна из функций равна постоянной, то скобки Пуассона обращаются в нуль:
где а — постоянная; 4) свойство распределительности
5) частная производная по времени
Если рассматривать три функции
В справедливости тождества Якоби — Пуассона можно убедиться непосредственно путем дифференцирования. Однако, как указал Гурса, нет нужды проводить все вычисления до конца. Действительно, каждый член левой части равенства (6.28) представляет произведение производной второго порядка на две производные первого порядка. Поэтому для доказательства справедливости тождества Якоби — Пуассона достаточно показать, что левая часть (6.28) не содержит вторых производных от функций Для доказательства воспользуемся одним положением из теории линейных дифференциальных операторов. Рассмотрим два линейных дифференциальных оператора:
где Имеем
Аналогично
Составляя теперь разность
т. е. снова получаем линейный оператор, не содержащий вторых производных. Пользуясь полученным результатом, можно доказать тождество Якоби — Пуассона. Покажем, что левая часть (6.28) не содержит вторых производных от функции Вторые производные от функции
что можно представить так:
Скобки Пуассона Рассмотрим два линейных оператора:
Равенство (6.30) тогда можно представить так:
Это выражение на основании (6.29) не содержит вторых производных от функции Аналогичным способом можно показать, что левая часть равенства (6.28) не содержит вторых производных от функций Рассмотрим теперь связь между скобками Пуассона и уравнениями движения. Для этого составим скобки Пуассона от функции Гамильтона
Если теперь воспользоваться уравнениями Гамильтона
то
Но так как
то окончательно получаем
Если функция
Таким образом, для того чтобы функция Если же интеграл уравнений движения не зависит явным образом от времени
С помощью скобок Пуассона можно находить интегралы канонической системы уравнений Гамильтона. Имеет место следующая теорема Пуассона: если функции Для того чтобы показать, что функция
Так как
С помощью этих соотношений равенство (6.34) можно представить в следующей форме:
Пользуясь свойствами скобок Пуассона, находим
или
и, окончательно,
а это означает, что функция Таким образом, зная два независимых интеграла канонической системы, можно найти третий интеграл. Однако таким путем не всегда удается получить новый интеграл, не зависящий от первых двух. Будем говорить, что функции
Такая система интегралов называется инволюционной системой интегралов или якобиевой системой. Легко видеть, что из якобиевой системы интегралов нового независимого интеграла с помощью теоремы Пуассона получить нельзя. Пример 1. Показать, что для каждой пары координат (аналогично для каждой пары импульсов) скобки Пуассона обращаются в нуль:
а
где
Указание. Воспользоваться определением скобок Пуассона. Пример 2. Показать, что если
Для доказательства воспользуемся известными соотношениями
Скобка Пуассона
Аналогично доказываются остальные два соотношения. Пример 3. Показать, что если функция Гамильтона Н не зависит явным образом от времени а функция
Если функция Гамильтона Н не зависит явным образом от времени ралом уравнений движения. На основании теоремы Пуассона
Следовательно,
также есть интеграл канонической системы уравнений Гамильтона. Аналогично доказывается, что
тоже будет интегралом.
|
1 |
Оглавление
|