§ 2. Канонические преобразования

Рассмотрим преобразование в -мерном фазовом пространстве с координатами к новым переменным

при условии, что функциональный определитель

отличен от нуля. Тогда преобразование (8.8) будет обратимым, и старые переменные могут быть выражены через новые переменные и

Если преобразование (8.8) или (8.9) подчинено условию обратимости, а в других отношениях совершенно произвольно, то каноническая система уравнений Гамильтона

перейдет в новую систему уравнений, которая, вообще говоря, не будет иметь форму канонических уравнений Гамильтона.

Для целей интегрирования уравнений механики особый интерес представляют те преобразования, при которых каноническая форма уравнений Гамильтона сохраняется неизменной. Тогда в результате преобразования (8.8), при переходе от переменных к

Новым переменным уравнения (8.10) преобразуются в каноническую систему вида

где есть некоторая функция от переменных играющая роль функции Гамильтона, причем она не обязательно должна быть преобразована из функции .

Преобразования, при которых каноническая форма уравнений Гамильтона сохраняется неизменной, называются каноническими. Выясним, при каких условиях преобразование (8.8) будет каноническим.

Все канонические преобразования можно определить с помощью одного дифференциального условия, указанного Софусом Ли. Именно, обратимое преобразование (8.8) является каноническим, если дифференциальная форма вида

(где — произвольные функции от переменных: ), удовлетворяется тождественно. Дифференциальной форме (8.12) можно придать другой вид, если от обеих частей отнять выражение Тогда будем иметь

где

Следует иметь в виду, что в дифференциальной форме (8.12) или (8.13) из переменных независимыми переменными будут лишь поскольку между переменными существуют соотношений (8.8).

Чтобы показать, что при тождественном выполнении условия (8.13) преобразование (8.8) является каноническим, поступим следующим образом.

Рассмотрим линейную дифференциальную форму вида

где — некоторые произвольные функции от независимых переменных Выражение вида (8.15) называют выражением Пфаффа или пфаффианом.

Наряду с системой независимых дифференциалов рассмотрим другую систему независимых дифференциалов тогда пфаффиан можно будет записать так:

Составим разность Замечая, что

и

и учитывая, что в силу независимости дифференциалов операции коммутативны, т. е. получаем

Так как

то находим

Рассмотрим теперь преобразование переменных к новым переменным с помощью уравнений вида

Пусть это преобразование будет обратимым, тогда

Дифференциальная форма (8.15) при указанном преобразовании примет вид

где

и, следовательно,

Так как разность — имеет одно и то же значение, независимо от того, в каких переменных она выражена, то ее называют билинейным ковариантом дифференциальной формы (8.15). Следовательно,

Если ввести обозначение

то билинейный ковариант можно записать так:

Отсюда следует, что для того, чтобы билинейный ковариант был тождественно равен нулю при любых независимых значениях дифференциалов необходимо, чтобы выполнялись равенства

Эта система уравнений Пфаффа называется союзной с данным пфаффовым выражением (8.15).

При выполнении преобразования (8.17), когда от переменных переходят к переменным и дифференциальная форма (8.15) преобразуется в дифференциальную форму (8.18), новая система уравнений Пфаффа — союзная с дифференциальной формой будет иметь вид

Если наряду с дифференциальной формой (8.15) рассмотреть другую дифференциальную форму отличающуюся от первоначальной формы на полный дифференциал от некоторой произвольной функции т. е. если положить

то это не изменит билинейного коварианта дифференциальной формы

Это следует из того факта, что билинейный ковариант дифференциальной формы вида

всегда равен нулю.

Действительно, так как в рассматриваемом случае

то

Применим теперь полученные результаты к тождеству (8.13), для чего рассмотрим дифференциальную форму

с переменными . Здесь — произвольная функция от этих переменных.

Билинейный ковариант этой дифференциальной формы будет равен

Но так как

то

и, следовательно,

Отсюда следует, что система уравнений Пфаффа, союзная с рассматриваемой дифференциальной формой (8.21), будет иметь вид

Эти уравнения можно записать в виде

Таким образом, мы приходим к канонической системе уравнений Гамильтона.

Обращаясь теперь к тождеству (8.13), видим, что система, союзная с дифференциальной формой

стоящей в левой части, совпадает с канонической системой уравнений Гамильтона (8.22), а система, союзная с дифференциальной формой, стоящей в правой части и равной

(поскольку билинейный ковариант от полного дифференциала тождественно равен нулю), будет равна

т. е. вновь получаем каноническую систему уравнений Гамильтона относительно характеристической функции Н. Таким образом, показано, что соотношение (8.13) является достаточным условием, чтобы преобразование (8.8) было каноническим. Функция от выбора которой зависит вид канонического преобразования, называется производящей функцией.