Глава X. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Постановка задачи

Рассмотрим движение голономной системы с степенями свободы. Состояние ее будет определяться параметрами:

Если силы, действующие на систему, задайы и начальное состояние ее известно, то движение системы может быть определено путем интегрирования уравнений движения.

Обозначим через начальные значения обобщенных координат и обобщенных скоростей, соответствующих моменту принятому за начальный. Пусть есть частное решение уравнений движения, соответствующее заданному начальному состоянию системы Функции в момент должны принимать заданные значения т. е.

Следуя Ляпунову, рассматриваемое движение условимся называть невозмущенным движением.

С невозмущенным движением мы будем сравни вать другие возможные движения, которые может совершать рассматриваемая система при тех же действующих силах, но при измененных начальных состояниях

системы. Эти движения условимся называть возмущенными движениями. Следовательно, различие между невозмущенным и возмущенными движениями заключается в изменении или, как говорят, в возмущении начального состояния системы. Возмущение начального состояния системы может происходить вследствие дополнительного импульса, получаемого в начальный момент , а также в результате неточного нахождения параметров .

Пусть начальное состояние системы в возмущенном движении в момент определяется следующими параметрами:

где — малые вещественные числа, называемые возмущениями. Частное решение уравнений движения соответствующее этому начальному состоянию, будет

Функции удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям движения, и различие между ними возникает вследствие изменения начальных условий.

В начальный момент должны выполняться условия

что можно записать в такой форме:

и

Сравнивая состояния системы в возмущенном и невозмущенном движениях можно прийти к выводу, что так как в начальный момент состояния системы отличаются мало, то в силу непрерывности функций и непрерывной зависимости от начальных условий они будут мало отличаться и для моментов времени близких к начальному моменту Но при достаточно больших они могут

отличаться заметным образом. Это означает, что абсолютные значения разностей

будут малы, когда разность мала, но могут стать значительными, когда время достаточно велико.

Чтобы изучить этот вопрос с более общей точки зрения, введем в рассмотрение заданных непрерывных вещественных функций зависящих от обобщенных координат обобщенных скоростей и времени

Функции для невозмущенного движения после замены на обратятся в известные функции времени которые обозначим через , а для возмущенного движения эти же функции Ф после замены на обратятся в некоторые функции времени и возмущений которые обозначим через

Образуем разности

которые будут обращаться в нуль при любом всякий раз, когда начальные возмущения равны нулю. Если же возмущения и отличны от нуля, то разности также будут отличны от нуля. Возникает вопрос, можно ли при достаточно малых значениях и назначить такие произвольно малые постоянные величины чтобы разности по абсолютному значению не превосходили бы их при произвольном

Ясно, что ответ на этот вопрос будет зависеть как от характера невозмущенного движения, так и от выбора функций Если вид функций Ф задан, то ответ на поставленный вопрос целиком будет зависеть от свойства невозмущенного движения. Это свойство называют устойчивостью или неустойчивостью.

Следуя Ляпунову, дадим следующее определение устойчивости: если при всяких произвольно задаваемых положительных числах как бы малы они ни были, можно указать такие положительные числа что при всяких возмущениях и удовлетворяющих условиям

и при всяком превосходящем будут выполняться неравенства

то невозмущенное движение по отношению к величинам Ф будет устойчивым, в противном случае — неустойчивым.

Следует обратить внимание на то, что в данном определении речь идет не об устойчивости движения вообще, а лишь об устойчивости движения по отношению к определенным величинам. Это означает, что невозмущенное движение может быть устойчивым по отношению к одним величинам и неустойчивым — по отношению к другим. Например, если рассматривать движение точки в центральном поле под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и в качестве невозмущенного движения рассматривать движение точки по окружности, то такое движение будет устойчивым по отношению к расстоянию от точки до центра притяжения, а также по отношению к скорости но будет неустойчивым по отношению к полярному углу , а также по отношению к декартовым координатам точки х и у.

Может оказаться, что нельзя будет указать пределы для величин и чтобы разности не превосходили по абсолютному значению величин если рассматривать всевозможные малые возмущения.

Тогда согласно Ляпунову движение будет неустойчивым. Однако эти пределы можно указать, если рассматривать не всевозможные возмущения, а возмущения, подчиненные некоторым условиям вида

которые удовлетворяются тождественно, еслиеу . В этом случае говорят об условной устойчивости или об устойчивости невозмущенного движения для возмущений, подчиненных определенным условиям. Таким образом, в классе неустойчивых движений (по Ляпунову) можно рассматривать условно устойчивые движения.