§ 3. Обобщенные скорости и ускорения

Рассмотрим механическую систему, конфигурация которой в каждый момент времени определяется обобщенными координатами

Так как при движении системы ее конфигурация с течением времени будет изменяться, то обобщенные координаты также будут переменными величинами, зависящими от т. е.

Вид функций может быть найден лишь после интегрирования уравнений движения системы с учетом начальных условий.

Производные по времени от обобщенных координат носят название обобщенных скоростей:

Каждой обобщенной координате соответствует обобщенная скорость Так как обобщенные координаты могут иметь размерности, отличные от размерности длины, то соответствующие им обобщенные скорости могут иметь размерности, отличные от размерности обычной скорости.

Скорости точек системы в декартовых координатах могут быть выражены через обобщенные скорости. Действительно, из уравнений (1.12) имеем:

Отсюда получаем

Когда связи стационарны, уравнения связей имеют вид

В этом случае в уравнения (1.12) также не будет входить явно время и, следовательно, будем иметь:

Так как теперь

то скорости точек в декартовых координатах в случае стационарных связей будут однородными функциями от обобщенных скоростей:

При изменении времени на система под действием приложенных к ней сил переходит в новое положение и декартовы координаты ее точек получают значения . В случае нестационарных связей бесконечно малые перемещения можно получить из равенств (1.14):

В случае же, когда связи, наложенные на точки системы, стационарны, при определении действительных перемещений следует воспользоваться равенствами (1.16). Тогда будем иметь

Формы (1.17) и (1.18) отличаются друг от друга лишь слагаемыми

Аналогично обобщенным скоростям обобщенные ускорения , определяются как вторые производные от обобщенных координат по времени:

Ускорения точек в декартовых координатах получаются путем дифференцирования равенств (1.14):

Отсюда следует, что

В заключение укажем, что совокупность параметров определяет конфигурацию системы, а совокупность параметров, состоящая из обобщенных координат и обобщенных скоростей определяет состояние механической системы.