§ 9. О разрешимости уравнений Лагранжа

Можно показать, что уравнения движения системы, написанные в форме уравнений Лагранжа, представляют собой нормальную систему уравнений, т. е. такую систему, которая может быть разрешена относительно вторых производных , выраженных через время и неизвестные функции

Как доказывается в курсе анализа, для того чтобы система уравнений второго порядка была нормальной, необходимо, чтобы функциональный определитель

Гесса (так называемый гессиан) не был тождественно равен нулю.

Для уравнений Лагранжа это означает, чтобы гессиан А от лагранжевой функции не должен тождественно равняться нулю:

Но так как функция Лагранжа представляет разность между кинетической энергией Т (зависящей от ) и потенциальной энергией V (зависящей от ) и, возможно, еще от т. е.

то определитель Гесса А равен

Но так как

то

и определитель Гесса А равен дискриминанту определенно положительной формы, какой является кинетическая энергия Т, и, следовательно, не может тождественно равняться нулю:

Рассматриваемая система уравнений Лагранжа является нормальной, т. е. разрешимой относительно вторых производных . В самом деле, обратимся к выражению кинетической энергии Г (5.22). Имеем

Так как зависят только от времени и обобщенных координат то

где — некоторая функция, зависящая от Следовательно, уравнение Лагранжа в общем случае, когда обобщенная сила может быть приведено к такому виду:

Здесь -некоторая функция от времени обобщенных координат и обобщенных скоростей .

Таким образом, получаем линейную относительно вторых производных систему уравнений с определителем отличным от нуля. На основании теоремы Крамера такую систему можно решить и, следовательно,

т. е. действительно, уравнения Лагранжа разрешимы относительно вторых производных Из уравнений (5.47) на основании теоремы о существовании и единственности решения следует, что движение механической системы будет однозначно определено, если заданы начальные условия: рактеризующие начальное состояние системы.