§ 3. Общая формула для вариации функции действия

До сих пор, рассматривая вариацию функции действия

мы принимали одно из следующих условий. В одном случае считали начальное положение системы и конечное положение фиксированными, причем время не варьировалось . Тогда мы имели

и согласно принципу Гамильтона

В другом случае начальное и конечное положения системы варьировались, а время оставалось не варьированным Тогда мы имели

и согласно принципу переменного действия вариация функции действия была равна

Дальнейшее обобщение можно получить, если кроме начального и конечного положений системы,

варьировать еще и соответствующие моменты времени Тогда будем иметь

Чтобы вывести соответствующую формулу для вариации функции действия рассмотрим параметрическое семейство кривых , зависящее от параметра а. Далее будем предполагать, что пределы интегрирования являются переменными и зависят от параметра а:

причем, когда тогда

Рис. 24

Таким образом, в пространстве точки соответствующие начальному и конечному положениям системы, при изменении параметра а будут описывать некоторые кривые (рис. 24), уравнения которых будут иметь вид

и

Следовательно, мы от одного действительного движения системы, соответствующего переходим к другому, близкому и тоже действительному движению системы,

соответствующему и получаемому в результате варьирования начального и конечного положений системы, а также моментов времени

В силу сказанного выше, действие можно рассматривать как функцию параметра а:

Возьмем производную от функции действия по параметру а. Для этого воспользуемся известной из курса анализа формулой дифференцирования интеграла по параметру в случае, когда пределы интегрирования являются переменными. Если интеграл

зависит от некоторого параметра а, то его производная по этому параметру равна

Применим эту формулу для дифференцирования функции действия Имеем

где через и обозначены значения функции Лагранжа при т. е.

и

Взяв частную производную от функции Лагранжа по параметру а, получим

что после перехода к пределу при дает

Умножая все члены на и учитывая, что

и соответственно

получаем следующее выражение для вариации функции действия S:

и

что после раскрытия выражения вариации 81, стоящей под знаком интеграла, дает

Так как варьирование под знаком интеграла является теперь изохронным то

и, следовательно,

Разбивая интеграл, стоящий в правой части, на два и интегрируя второй интеграл по частям, окончательно получаем

Интеграл, стоящий в правой части, обращается в нуль, т. е. для действительных движений системы, которые здесь рассматриваются, должны иметь место уравнения движения Лагранжа:

и, следовательно, вариация функции действия будет равна

где через обозначены обобщенные импульсы, , а через — значения обобщенных импульсов соответственно в моменты времени .

Рассмотрим более детально вариации обобщенных координат соответствующих начальному и конечному положениям системы.

Так как есть функция параметра а, то вариация координаты будет равна

или

Но так как

то окончательно находим

и,

Аналогично можем написать и для координаты

Итак, подставляя значения

в формулу для и пользуясь функцией Гамильтона

получаем общую формулу для вариации функции действия в следующем виде:

где — значения функции Гамильтона для моментов времени . Их можно представить в виде

Формула (7.11) представляет наиболее общее выражение для вариации функции действия , когда от рассматриваемого действительного движения системы совершается переход к другому близкому и тоже действительному движению, получаемому в результате варьирования как начального положения системы так и конечного положения .

Если время, соответствующее начальному и конечному положениям системы, не варьируется, то, положив в формуле получим принцип переменного действия (7.9). Если же, кроме того, принять, что начальное и конечное положения системы не варьируются, то положив , получим принцип Гамильтона в форме