§ 3. Вывод принципа Гамильтона из общего уравнения динамики
Принцип Гамильтона может быть получен из общего уравнения динамики (2.13).
Умножая все члены в этом уравнении на 
производя интегрирование в пределах от 
до 
и переходя от скалярных величин к векторным, получаем:
Вычислим каждый из этих интегралов. Полагая, что задаваемые силы 
имеют силовую функцию 
можем записать
и, следовательно,
Для нахождения второго интеграла преобразуем подынтегральное выражение. Имеем
Рассмотрим одно из слагаемых в правой части, например, первое:
Так как вариация координат производится при неизменном 
то операции дифференцирования и варьирования коммутативны, т. е.
Поэтому предыдущее соотношение можно переписать в следующей форме:
Написав аналогичные выражения для 
и 
и взяв их сумму, получим:
Вводя в рассмотрение импульсы 
и пользуясь формулой для квадрата скорости 
перепишем предыдущее выражение в виде
Следовательно,
где через Г обозначена кинетическая энергия системы:
Так как все кривые сравнения проходят через фиксированные точки 
(рис. 7), соответствующие положениям системы в моменты 
то вариации координат 
в этих точках будут равны нулю и, следовательно,
Таким образом,
и формула (3.2) с помощью соотношений (3.3) и (3.4) принимает вид
Вводя потенциальную энергию 
и обозначая разность между кинетической и потенциальной энергиями через 
т. е., полагая 
окончательно получаем
Как уже указывалось, варьирование здесь является изохронным, и, следовательно, операции интегрирования по времени и варьирования коммутативны. Таким образом,
Это есть вариационная формула принципа Гамильтона.
Приведенный вывод принципа Гамильтона имеет то достоинство, что здесь становится ясной физическая сущность функции Лагранжа 
как разности между кинетической и потенциальной энергиями системы.
Вывод был сделан в предположении, что заданные силы действующие на точки системы, имеют потенциал 
Если же силы, действующие на точки системы, не имеют потенциала, то, обозначив их через 
можем написать
В таком виде принцип Гамильтона справедлив и для неконсервативных систем.
