§ 10. Совместность дифференциальных принципов. Перемещения по Четаеву

Наличие трех указанных выше дифференциальных принципов, естественно, привело к постановке вопроса об их совместности.

Вопросом совместности принципов Даламбера — Лагранжа и Гаусса занимались Е. А. Болотов, П. Аппель, Е. Деласю, Н. Г. Четаев и др.

Оказалось, что все три принципа совместны для голономных систем. Для неголономных систем, как показали П. Аппель и Е. Деласю, указанные принципы совместны лишь для линейных неголономных систем (т. е. таких систем, когда связи выражаются линейным образом через скорости) и несовместны для нелинейных неголономных систем.

При этом наиболее общим оказывается принцип Гаусса, поскольку он справедлив для более широкого класса систем, в частности, для нелинейных неголономных систем.

Н. Г. Четаев заметил, что суть вопроса состоит в самом определении понятия возможного перемещения для нелинейных неголономных систем. Он предложил дать такое определение, чтобы, во-первых, оно совпадало с определением возможных перемещений для линейных неголономных систем и во-вторых, чтобы принципы Даламбера — Лагранжа и Гаусса оказались бы совместны.

Пусть на точки системы, состоящей из точек, конфигурация которой в каждый момент времени определяется обобщенными координатами так, что

наложено неголономных связей вида

которые в разрешенном относительно виде можно записать так:

Из соотношений (2.30) после дифференцирования получим

и на основании уравнений связей (2.32):

Правые части этих равенств суть функции от и независимых скоростей . Обозначая эти функции через , а соответствующие функции для и через и можем написать:

Теперь можно получить, согласно Четаеву, выражения для возможных перемещений точек системы при которых принципы Даламбера—Лагранжа и Гаусса оказываются совместными. Возможные перемещения по Четаеву записываются так:

где — произвольные бесконечно малые величины.

Следует заметить, что данное определение возможных перемещений по Четаеву включает в себя понятия возможных перемещений для голономных систем и для неголономных систем со связями линейными относительно скоростей.

Действительно, пусть на точки системы наложена голономная связь вида

Тогда будет справедливо условие связи (2.31):

Пользуясь условием связи по Четаеву

на основании (2.35) получим:

а это совпадает с выражением, связывающим вариации координат при возможных перемещениях (при системы, полученным ранее (§ 5, гл. 1).

Если теперь на точки системы наложено линейных неголономных связей вида

где — функции обобщенных координат и времени , то на основании условия Чегаева получим

что также совпадает с выражением, полученным ранее (§ 5, гл. 1).