§ 4. Принцип Даламбера

Первоначально идея этого принципа была высказана Яковом Бернулли (1654—1705) при рассмотрении задачи о центре колебаний тел произвольной формы. В 1716 г. петербургский академик Я. Герман (1678 — 1733) выдвинул принцип статической эквивалентности «свободных» движений и «фактических» движений, т. е. движений, осуществляемых при наличии связей. Позже этот принцип был применен Л. Эйлером (1707— 1783) к задаче о колебаниях гибких тел (работа была опубликована в 1740 г.) и получил название «петер-бурского принципа». Однако первым, кто сформулировал рассматриваемый принцип в общем виде, хотя и не дал ему надлежащего аналитического выражения, был Даламбер (1717-1783). В своей «Динамике» вышедшей в 1743 г., он указал общий метод подхода к решению задач динамики несвободных систем. Аналитическое выражение этого принципа было дано позднее Лагранжем в его «Аналитической механике».

Рассмотрим некоторую несвободную механическую систему. Обозначим равнодействующую всех активных сил, действующих на какую-либо точку системы, через а равнодействующую реакций связей — через Тогда уравнение движения точки будет иметь вид

где — вектор ускорения точки, а масса этой точки.

Если ввести в рассмотрение силу называемую даламберовой силой инерциито уравнение движения (2.9) можно переписать в форме уравнения равновесия трех сил:

Уравнение (2.10) составляет существо принципа Даламбера для точки, а это же уравнение, распространенное на систему, — существо принципа Даламбера для системы.

Уравнение движения, написанное в форме (2.10), позволяет дать принципу Даламбера следующую формулировку: если систему находящуюся в движении, в какой-либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной точке этой системы приложить действовавшие на нее в момент остановки активные силы реакции связей и даламберовы силы инерции то система останется в равновесии.

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения несвободных систем написать в форме уравнений статики.

Этим самым, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как задача интегрирования уравнений движения по-прежнему сохраняется, но принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения несвободных систем, и в этом его главное преимущество.

Если иметь в виду, что реакции представляют собой действие связей на точки системы, то принципу Даламбера можно дать и такую формулировку: если к активным силам действующим на точки несвободной системы, присоединить даламберовы силы инерции то результирующие этих сил уравновесятся реакциями связей. Следует подчеркнуть условность этой формулировки, так как в действительности

при движении системы никакого уравновешивания нет, поскольку силы инерции к точкам системы не приложены.

Наконец, принципу Даламбера можно дать еще одну эквивалентную формулировку, для чего уравнение (2.9) перепишем в такой форме:

Если бы точка была свободна и находилась под действием только силы то она приобрела бы некоторое ускорение . В действительности же рассматриваемая точка несвободна и находится под действием активной силы и реакции связи в результате чего она приобретает ускорение По терминологии Даламбера, разность называется «потерянным» ускорением, а сила

соответственно — «потерянной» силой. Таким образом, уравнение (2.11) можно переписать в форме равновесия двух сил:

т. е. потерянные силы уравновешиваются реакциями связей. В таком виде трактовка принципа Даламбера ближе всего подходит к рассуждениям самого Даламбера.