§ 4. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для вывода теоремы об изменении кинетической энергии системы воспользуемся уравнениями Лагранжа

Умножая все члены на обобщенную скорость и суммируя по всем , получаем

что можно переписать так:

Пользуясь теоремой Эйлера об однородных функциях, получаем

Замечая далее, что и

переписываем формулу (5.24) в виде

С помощью формулы (5.21) преобразуем ее к следующему окончательному виду:

В случае, когда рассматриваемая голономная система подчинена стационарным связям, кинетическая энергия Т не зависит явно от времени и является квадратичной функцией от обобщенных скоростей:

и

Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии (5.25) может быть представлена в виде

Умножая обе части на и интегрируя в пределах от до соответствующих положениям системы и , получаем

Итак, изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ, совершенных обобщенными силами

Если система движется в потенциальном поле, то обобщенные силы выражаются через потенциальную энергию:

и формула (5.26) принимает при этом следующий вид:

Обозначая через полную механическую энергию системы, получаем

и, следовательно,

т. е. полная механическая энергия системы сохраняет при движении постоянное значение.

Системы, для которых имеет место закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

К таким системам будет принадлежать всякая голономная система со стационарными связями, движущаяся в потенциальном поле.

Если на точки системы, кроме сил, обладающих потенциалом, действуют еще силы не обладающие потенциалом, то

В этом случае теорема об изменении кинетической энергии системы принимает вид

и, следовательно,